ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 456 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

1) \(\begin{cases} x^2 — xy + y^2 = 63, \\ y — x = 3; \end{cases}\)

2) \(\begin{cases} x + 2y = 1, \\ x^2 + xy + 2y^2 = 1; \end{cases}\)

3) \(\begin{cases} (x-1)(y-2) = 2, \\ x + y = 6; \end{cases}\)

4) \(\begin{cases} 5x — 2y = 3, \\ 3x^2 — 8y = -5. \end{cases}\)

1. Подставляем \(y = x + 3\) во второе уравнение: \(x^{2} — x(x+3) + (x+3)^{2} = 63\), получаем \(x^{2} + 3x — 54 = 0\). Корни: \(x = -9\) и \(x = 6\), тогда \(y = -6\) и \(y = 9\). Ответ: \((-9; -6)\), \((6; 9)\).

2. Подставляем \(x = 1 — 2y\) во второе уравнение: \((1-2y)^{2} + y(1-2y) + 2y^{2} = 1\), получаем \(y(4y-3)=0\). Корни: \(y = 0\) и \(y = \frac{3}{4}\), тогда \(x = 1\) и \(x = -\frac{1}{2}\). Ответ: \((1; 0)\), \left(-\frac{1}{2}; \frac{3}{4}\right).

3. Подставляем \(y = 6 — x\) в первое уравнение: \((x-1)(4-x) = 2\), получаем \(x^{2} — 5x + 6 = 0\). Корни: \(x = 2\) и \(x = 3\), тогда \(y = 4\) и \(y = 3\). Ответ: \((2; 4)\), \((3; 3)\).

4. Подставляем \(y = \frac{5x-3}{2}\) во второе уравнение: \(3x^{2} — 8y = -5\), получаем \(3x^{2} — 20x + 17 = 0\). Корни: \(x = 1\) и \(x = \frac{17}{3}\), тогда \(y = 1\) и \(y = 12\frac{2}{3}\). Ответ: \((1; 1), \left(\frac{17}{3}; 12 + \frac{2}{3}\right)\)

1.
Рассмотрим систему уравнений:
\(
\begin{cases}
x^{2} — xy + y^{2} = 63 \\
y — x = 3
\end{cases}
\)
Для начала выразим одну переменную через другую из второго уравнения. Получаем \(y = x + 3\). Теперь подставим это выражение во второе уравнение системы, чтобы получить уравнение только с одной переменной \(x\). Подставляем:
\(x^{2} — x(x+3) + (x+3)^{2} = 63\)
Раскроем скобки:
\(x^{2} — x^{2} — 3x + (x+3)^{2} = 63\)
Сначала упростим первую часть: \(x^{2} — x^{2} = 0\), поэтому остается \(-3x + (x+3)^{2} = 63\).
Теперь раскроем квадрат суммы:
\((x+3)^{2} = x^{2} + 6x + 9\)
Подставим это:
\(-3x + x^{2} + 6x + 9 = 63\)
Приведём подобные:
\(x^{2} + 3x + 9 = 63\)
Всё переносим в одну сторону:
\(x^{2} + 3x + 9 — 63 = 0\)
\(x^{2} + 3x — 54 = 0\)
Это квадратное уравнение. Найдём дискриминант:
\(D = 3^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-54) = 9 + 216 = 225\)
Теперь найдём корни уравнения:
\(x_{1} = \frac{-3-15}{2} = \frac{-18}{2} = -9\)
\(x_{2} = \frac{-3+15}{2} = \frac{12}{2} = 6\)
Теперь найдём соответствующие значения \(y\):
\(y_{1} = x_{1} + 3 = -9 + 3 = -6\)
\(y_{2} = x_{2} + 3 = 6 + 3 = 9\)
Ответ: \((-9; -6)\), \((6; 9)\)

2.
Рассмотрим систему уравнений:
\(
\begin{cases}
x + 2y = 1 \\
x^{2} + xy + 2y^{2} = 1
\end{cases}
\)
Сначала выразим \(x\) через \(y\) из первого уравнения:
\(x = 1 — 2y\)
Теперь подставим это выражение для \(x\) во второе уравнение:
\((1-2y)^{2} + y(1-2y) + 2y^{2} = 1\)
Раскроем скобки:
\((1-2y)^{2} = 1 — 4y + 4y^{2}\)
\(y(1-2y) = y — 2y^{2}\)
Теперь сложим:
\(1 — 4y + 4y^{2} + y — 2y^{2} + 2y^{2} = 1\)
Объединим подобные:
\(-4y + y = -3y\)
\(4y^{2} — 2y^{2} + 2y^{2} = 4y^{2}\)
Итак, уравнение примет вид:
\(1 — 3y + 4y^{2} = 1\)
Вычтем 1 из обеих частей:
\(-3y + 4y^{2} = 0\)
Вынесем \(y\) за скобки:
\(y(4y — 3) = 0\)
Отсюда \(y_{1} = 0\), \(y_{2} = \frac{3}{4}\)
Теперь найдём \(x\) для каждого значения \(y\):
Если \(y_{1} = 0\), то \(x_{1} = 1 — 2 \cdot 0 = 1\)
Если \(y_{2} = \frac{3}{4}\), то \(x_{2} = 1 — 2 \cdot \frac{3}{4} = 1 — \frac{6}{4} = 1 — \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}\)
Ответ: \( (1; 0) \), \( \left(-\frac{1}{2}; \frac{3}{4}\right) \).

3.
Рассмотрим систему:
\(
\begin{cases}
(x-1)(y-2) = 2 \\
x + y = 6
\end{cases}
\)
Выразим \(y\) через \(x\):
\(y = 6 — x\)
Подставим во второе уравнение:
\((x-1)((6-x)-2) = 2\)
\((x-1)(4-x) = 2\)
Раскроем скобки:
\(x \cdot 4 — x \cdot x — 1 \cdot 4 + 1 \cdot x = 4x — x^{2} — 4 + x\)
Сложим подобные:
\(4x + x = 5x\)
Получаем:
\(5x — x^{2} — 4 = 2\)
Переносим всё в одну сторону:
\(5x — x^{2} — 4 — 2 = 0\)
\(5x — x^{2} — 6 = 0\)
Умножим обе части на -1:
\(x^{2} — 5x + 6 = 0\)
Решим квадратное уравнение:
\(D = (-5)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1\)
\(x_{1} = \frac{5-1}{2} = 2\)
\(x_{2} = \frac{5+1}{2} = 3\)
Теперь найдём \(y\):
\(y_{1} = 6 — 2 = 4\)
\(y_{2} = 6 — 3 = 3\)
Ответ: \((2; 4)\), \((3; 3)\)

4.
Рассмотрим систему:
\(
\begin{cases}
5x — 2y = 3 \\
3x^{2} — 8y = -5
\end{cases}
\)
Из первого уравнения выразим \(2y\):
\(2y = 5x — 3\)
Разделим обе части на 2:
\(y = \frac{5x — 3}{2}\)
Теперь подставим это значение во второе уравнение:
\(3x^{2} — 8y = -5\)
\(3x^{2} — 8 \cdot \frac{5x — 3}{2} = -5\)
\(3x^{2} — 4(5x — 3) = -5\)
\(3x^{2} — 20x + 12 = -5\)
Переносим всё в одну сторону:
\(3x^{2} — 20x + 17 = 0\)
Вычислим дискриминант:
\(D = (-20)^{2} — 4 \cdot 3 \cdot 17 = 400 — 204 = 196\)
\(x_{1} = \frac{20-14}{6} = 1\)
\(x_{2} = \frac{20+14}{6} = \frac{34}{6} = \frac{17}{3}\)
Теперь найдём \(y\) для каждого \(x\):
Для \(x_{1} = 1\):
\(y_{1} = \frac{5 \cdot 1 — 3}{2} = \frac{5 — 3}{2} = 1\)
Для \(x_{2} = \frac{17}{3}\):
\(y_{2} = \frac{5 \cdot \frac{17}{3} — 3}{2} = \frac{\frac{85}{3} — 3}{2} = \frac{\frac{85}{3} — \frac{9}{3}}{2} = \frac{\frac{76}{3}}{2} = \frac{76}{6} = 12\frac{2}{3}\)
Ответ: \((1; 1), \left(\frac{17}{3}; 12 + \frac{2}{3}\right)\)