Учебник «Алгебра, 9 класс» под авторством Мерзляка, Полонского и Якира — это незаменимое пособие для учащихся средней школы, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Он отличается высоким качеством содержания и тщательно продуманной методической структурой, что делает процесс изучения математики более доступным и увлекательным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 457 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения:
1) прямой \(3x — y = 1\) и параболы \(y = 3x^2 + 8x — 3\);
2) прямой \(2x — y = 2\) и гиперболы \(y = \frac{4}{x}\);
3) прямой \(x + y = 1\) и окружности \((x-1)^2 + (y+4)^2 = 16\);
4) парабол \(y = x^2 — 4x + 7\) и \(y = 3 + 4x — 2x^2\).
1) \(3x — y = 1\), \(y = 3x^{2} + 8x — 3\)
\(3x — (3x^{2} + 8x — 3) = 1\)
\(3x — 3x^{2} — 8x + 3 = 1\)
\(-3x^{2} — 5x + 3 = 1\)
\(-3x^{2} — 5x + 2 = 0\)
\(3x^{2} + 5x — 2 = 0\)
\(D = 25 + 24 = 49\)
\(x_{1} = \frac{-5-7}{6} = -2\), \(x_{2} = \frac{-5+7}{6} = \frac{1}{3}\)
\(y_{1} = 3 \cdot (-2)^{2} + 8 \cdot (-2) — 3 = 12 — 16 — 3 = -7\)
\(y_{2} = 3 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{2} + 8 \cdot \frac{1}{3} — 3 = \frac{1}{3} + \frac{8}{3} — 3 = 3 — 3 = 0\)
\((-2; -7)\), \(\left(\frac{1}{3}; 0\right)\)
2) \(2x — y = 2\), \(y = \frac{4}{x}\)
\(2x — \frac{4}{x} = 2\)
\(2x — 2 = \frac{4}{x}\)
\(2x^{2} — 2x — 4 = 0\)
\(x^{2} — x — 2 = 0\)
\(D = 1 + 8 = 9\)
\(x_{1} = \frac{1-3}{2} = -1\), \(x_{2} = \frac{1+3}{2} = 2\)
\(y_{1} = \frac{4}{-1} = -4\), \(y_{2} = \frac{4}{2} = 2\)
\((-1; -4)\), \((2; 2)\)
3) \(x + y = 1\), \((x-1)^{2} + (y+4)^{2} = 16\)
\(y = 1 — x\)
\((x-1)^{2} + (1-x+4)^{2} = 16\)
\((x-1)^{2} + (5-x)^{2} = 16\)
\(x^{2} — 2x + 1 + 25 — 10x + x^{2} = 16\)
\(2x^{2} — 12x + 26 = 16\)
\(2x^{2} — 12x + 10 = 0\)
\(x^{2} — 6x + 5 = 0\)
\(D = 36 — 20 = 16\)
\(x_{1} = \frac{6-4}{2} = 1\), \(x_{2} = \frac{6+4}{2} = 5\)
\(y_{1} = 1-1 = 0\), \(y_{2} = 1-5 = -4\)
\((1; 0)\), \((5; -4)\)
4) \(y = x^{2} — 4x + 7\), \(y = 3 + 4x — 2x^{2}\)
\(x^{2} — 4x + 7 = 3 + 4x — 2x^{2}\)
\(x^{2} — 4x + 7 — 3 — 4x + 2x^{2} = 0\)
\(3x^{2} — 8x + 4 = 0\)
\(D = 64 — 48 = 16\)
\(x_{1} = \frac{8-4}{6} = \frac{2}{3}\), \(x_{2} = \frac{8+4}{6} = 2\)
\(y_{1} = \left(\frac{2}{3}\right)^{2} — 4 \cdot \frac{2}{3} + 7 = \frac{4}{9} — \frac{8}{3} + 7 = \frac{4}{9} — \frac{24}{9} + \frac{63}{9} = \frac{43}{9}\)
\(y_{2} = 2^{2} — 4 \cdot 2 + 7 = 4 — 8 + 7 = 3\)
\(\left(\frac{2}{3}; \frac{43}{9}\right)\), \((2; 3)\)
1) Данo: \(3x — y = 1\) и \(y = 3x^{2} + 8x — 3\).
Подставим выражение для \(y\) во второе уравнение в первое: \(3x — (3x^{2} + 8x — 3) = 1\).
Раскроем скобки: \(3x — 3x^{2} — 8x + 3 = 1\).
Приведём подобные: \(-3x^{2} — 5x + 3 = 1\).
Перенесём всё в одну сторону: \(-3x^{2} — 5x + 2 = 0\).
Домножим на \(-1\): \(3x^{2} + 5x — 2 = 0\).
Вычислим дискриминант: \(D = 5^{2} — 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49\).
Найдём корни: \(x_{1} = \frac{-5 — 7}{6} = -2\), \(x_{2} = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{1}{3}\).
Найдём \(y\) для каждого \(x\):
Для \(x_{1} = -2\): \(y = 3 \cdot (-2)^{2} + 8 \cdot (-2) — 3 = 12 — 16 — 3 = -7\).
Для \(x_{2} = \frac{1}{3}\): \(y = 3 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{2} + 8 \cdot \frac{1}{3} — 3 = \frac{1}{3} + \frac{8}{3} — 3 = 3 — 3 = 0\).
Ответ: \((-2; -7)\), \(\left(\frac{1}{3}; 0\right)\)
2) Данo: \(2x — y = 2\), \(y = \frac{4}{x}\).
Подставим \(y\) во второе уравнение в первое: \(2x — \frac{4}{x} = 2\).
Перенесём 2 влево: \(2x — 2 = \frac{4}{x}\).
Умножим на \(x\): \(2x^{2} — 2x = 4\).
Перенесём всё в одну сторону: \(2x^{2} — 2x — 4 = 0\).
Разделим на 2: \(x^{2} — x — 2 = 0\).
Вычислим дискриминант: \(D = (-1)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\).
Найдём корни: \(x_{1} = \frac{1-3}{2} = -1\), \(x_{2} = \frac{1+3}{2} = 2\).
Найдём \(y\) для каждого \(x\):
Для \(x_{1} = -1\): \(y = \frac{4}{-1} = -4\).
Для \(x_{2} = 2\): \(y = \frac{4}{2} = 2\).
Ответ: \((-1; -4)\), \((2; 2)\)
3) Данo: \(x + y = 1\), \((x-1)^{2} + (y+4)^{2} = 16\).
Выразим \(y = 1 — x\).
Подставим во второе уравнение: \((x-1)^{2} + (1-x+4)^{2} = 16\).
Упростим вторую скобку: \(1 — x + 4 = 5 — x\).
Раскроем скобки: \((x-1)^{2} + (5-x)^{2} = 16\).
\(x^{2} — 2x + 1 + 25 — 10x + x^{2} = 16\).
\(2x^{2} — 12x + 26 = 16\).
\(2x^{2} — 12x + 10 = 0\).
Разделим на 2: \(x^{2} — 6x + 5 = 0\).
Вычислим дискриминант: \(D = 36 — 20 = 16\).
Найдём корни: \(x_{1} = \frac{6-4}{2} = 1\), \(x_{2} = \frac{6+4}{2} = 5\).
Найдём \(y\):
Для \(x_{1}=1\): \(y = 1-1 = 0\).
Для \(x_{2}=5\): \(y = 1-5 = -4\).
Ответ: \((1; 0)\), \((5; -4)\)
4) Данo: \(y = x^{2} — 4x + 7\), \(y = 3 + 4x — 2x^{2}\).
Приравняем правые части: \(x^{2} — 4x + 7 = 3 + 4x — 2x^{2}\).
Перенесём всё в одну сторону: \(x^{2} — 4x + 7 — 3 — 4x + 2x^{2} = 0\).
\(x^{2} + 2x^{2} — 4x — 4x + 7 — 3 = 0\).
\(3x^{2} — 8x + 4 = 0\).
Вычислим дискриминант: \(D = (-8)^{2} — 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 — 48 = 16\).
Найдём корни: \(x_{1} = \frac{8-4}{6} = \frac{2}{3}\), \(x_{2} = \frac{8+4}{6} = 2\).
Найдём \(y\):
Для \(x_{1} = \frac{2}{3}\): \(y = \left(\frac{2}{3}\right)^{2} — 4 \cdot \frac{2}{3} + 7 = \frac{4}{9} — \frac{8}{3} + 7 = \frac{4}{9} — \frac{24}{9} + \frac{63}{9} = \frac{43}{9}\).
Для \(x_{2} = 2\): \(y = 2^{2} — 4 \cdot 2 + 7 = 4 — 8 + 7 = 3\).
Ответ: \(\left(\frac{2}{3}; \frac{43}{9}\right)\), \((2; 3)\)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.