ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 459 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что:

1) прямая \(y = -2x — 4\) и парабола \(y = 6x^2 — 7x — 2\) не пересекаются;

2) парабола \(y = 4x^2 — 3x + 6\) и прямая \(y = x + 5\) имеют одну общую точку, найдите координаты этой точки;

3) параболы \(y = 4x^2 — 3x — 24\) и \(y = 2x^2 — 5x\) имеют две общие точки, найдите их координаты.

1)
\(y = -2x — 4,\ y = 6x^{2} — 7x — 2\)
\(-2x — 4 = 6x^{2} — 7x — 2\)
\(6x^{2} — 5x + 2 = 0\)
\(D = (-5)^{2} — 4 \cdot 6 \cdot 2 = 25 — 48 = -23\)
\(D < 0,\ x \in \emptyset\)
Что и требовалось доказать.

2)
\(y = 4x^{2} — 3x + 6,\ y = x + 5\)
\(x + 5 = 4x^{2} — 3x + 6\)
\(4x^{2} — 4x + 1 = 0\)
\((2x — 1)^{2} = 0\)
\(2x — 1 = 0,\ x = \frac{1}{2}\)
\(y = \frac{1}{2} + 5 = 5{,}5\)
Что и требовалось доказать.

3)
\(y = 4x^{2} — 3x — 24,\ y = 2x^{2} — 5x\)
\(4x^{2} — 3x — 24 = 2x^{2} — 5x\)
\(2x^{2} + 2x — 24 = 0\)
\(x^{2} + x — 12 = 0\)
\(D = 1^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49\)
\(x_{1} = \frac{-1 — 7}{2} = -4,\ x_{2} = \frac{-1 + 7}{2} = 3\)
\(y_{1} = 2 \cdot (-4)^{2} — 5 \cdot (-4) = 32 + 20 = 52\)
\(y_{2} = 2 \cdot 3^{2} — 5 \cdot 3 = 18 — 15 = 3\)
Что и требовалось доказать.

1)
Рассмотрим систему уравнений: \(y = -2x — 4\) и \(y = 6x^{2} — 7x — 2\). Для того чтобы найти точки пересечения графиков этих функций, приравниваем их правые части: \(-2x — 4 = 6x^{2} — 7x — 2\). Переносим все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \(-2x — 4 — 6x^{2} + 7x + 2 = 0\). Теперь группируем и приводим подобные слагаемые: \(6x^{2} — 7x — 2 + 2x + 4 = 0\), что после упрощения даёт \(6x^{2} — 5x + 2 = 0\).

Для решения квадратного уравнения находим дискриминант по формуле: \(D = b^{2} — 4ac\), где \(a = 6\), \(b = -5\), \(c = 2\). Подставляем значения: \(D = (-5)^{2} — 4 \cdot 6 \cdot 2 = 25 — 48 = -23\). Дискриминант оказался отрицательным, а это значит, что уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, графики данных функций не пересекаются ни в одной точке на плоскости.

В математической записи множество решений для \(x\) обозначается как пустое множество, то есть \(x \in \emptyset\). Это означает, что система не имеет решений, а значит, прямые не имеют общих точек с параболой. Что и требовалось доказать.

2)
Дана система: \(y = 4x^{2} — 3x + 6\) и \(y = x + 5\). Чтобы найти точку пересечения параболы и прямой, приравниваем выражения для \(y\): \(4x^{2} — 3x + 6 = x + 5\). Переносим все слагаемые в одну сторону: \(4x^{2} — 3x + 6 — x — 5 = 0\). Группируем и приводим подобные: \(4x^{2} — 4x + 1 = 0\).

Заметим, что это квадратное уравнение можно представить в виде полного квадрата: \(4x^{2} — 4x + 1 = (2x — 1)^{2}\). Тогда уравнение принимает вид \((2x — 1)^{2} = 0\). Решая это уравнение, получаем \(2x — 1 = 0\), откуда \(x = \frac{1}{2}\). Подставляем найденное значение \(x\) в уравнение прямой \(y = x + 5\): \(y = \frac{1}{2} + 5 = 5{,}5\).

Таким образом, точка пересечения графиков функций одна: \((\frac{1}{2};\ 5{,}5)\). Это значит, что прямая касается параболы в одной точке, так как дискриминант уравнения равен нулю и существует единственный корень. Что и требовалось доказать.

3)
Рассмотрим уравнения: \(y = 4x^{2} — 3x — 24\) и \(y = 2x^{2} — 5x\). Чтобы найти точки пересечения, приравниваем правые части: \(4x^{2} — 3x — 24 = 2x^{2} — 5x\). Переносим всё в одну сторону: \(4x^{2} — 3x — 24 — 2x^{2} + 5x = 0\). Приводим подобные члены: \(2x^{2} + 2x — 24 = 0\). Упростим, разделив все члены на 2: \(x^{2} + x — 12 = 0\).

Для решения квадратного уравнения найдём дискриминант: \(D = 1^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49\). Поскольку дискриминант положительный, уравнение имеет два корня. Находим их по формуле: \(x_{1} = \frac{-1 — 7}{2} = -4\), \(x_{2} = \frac{-1 + 7}{2} = 3\).

Теперь подставим найденные значения \(x\) в уравнение второй функции \(y = 2x^{2} — 5x\), чтобы найти соответствующие значения \(y\). Для \(x_{1} = -4\): \(y_{1} = 2 \cdot (-4)^{2} — 5 \cdot (-4) = 2 \cdot 16 + 20 = 32 + 20 = 52\). Для \(x_{2} = 3\): \(y_{2} = 2 \cdot 3^{2} — 5 \cdot 3 = 2 \cdot 9 — 15 = 18 — 15 = 3\).

В результате получаем две точки пересечения графиков: \((-4;\ 52)\) и \((3;\ 3)\). Это значит, что прямая и парабола пересекаются в двух точках, координаты которых мы нашли. Что и требовалось доказать.