ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 461 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

1) \(\begin{cases}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}, \\x — y = 1;\end{cases}\)

2) \(\begin{cases}\frac{1}{x} — \frac{1}{y} = \frac{4}{5}, \\3x + y = 8.\end{cases}\)

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{3}{2}\)
\(x-y=1\)
\(y=x-1\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}=\frac{3}{2}\)
\(\frac{2x-1}{x(x-1)}=\frac{3}{2}\)
\(2(2x-1)=3x(x-1)\)
\(4x-2=3x^{2}-3x\)
\(3x^{2}-7x+2=0\)
\(D=49-24=25\)
\(x_{1}=\frac{7-5}{6}=\frac{1}{3}\)
\(x_{2}=\frac{7+5}{6}=2\)
\(y_{1}=\frac{1}{3}-1=-\frac{2}{3}\)
\(y_{2}=2-1=1\)
\((\frac{1}{3};-\frac{2}{3})\), \((2;1)\)

\(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{4}{5}\)
\(3x+y=8\)
\(y=8-3x\)
\(\frac{1}{x}-\frac{1}{8-3x}=\frac{4}{5}\)
\(\frac{8-4x}{x(8-3x)}=\frac{4}{5}\)
\(5(8-4x)=4x(8-3x)\)
\(40-20x=32x-12x^{2}\)
\(12x^{2}-52x+40=0\)
\(3x^{2}-13x+10=0\)
\(D=169-120=49\)
\(x_{1}=\frac{13-7}{6}=1\)
\(x_{2}=\frac{13+7}{6}=\frac{10}{3}\)
\(y_{1}=8-3\cdot1=5\)
\(y_{2}=8-3\cdot\frac{10}{3}=8-10=-2\)
\((1;5)\), \((\frac{10}{3};-2)\)

1.
Рассмотрим первую систему: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{3}{2}\), \(x-y=1\). Сначала выразим одну переменную через другую. Из второго уравнения \(x-y=1\) получаем \(y=x-1\). Теперь подставим это выражение для \(y\) в первое уравнение, чтобы получить уравнение только с одной переменной: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}=\frac{3}{2}\). Приведём дроби к общему знаменателю: числитель будет \((x-1)+x\), знаменатель \(x(x-1)\), то есть \(\frac{2x-1}{x(x-1)}=\frac{3}{2}\).

Далее решим полученное уравнение. Перемножим обе части на \(2x(x-1)\), чтобы избавиться от дробей: \(2(2x-1)=3x(x-1)\). Раскроем скобки: \(4x-2=3x^{2}-3x\). Перенесём все слагаемые в одну сторону: \(3x^{2}-7x+2=0\). Это квадратное уравнение. Найдём дискриминант: \(D=(-7)^{2}-4\cdot3\cdot2=49-24=25\). Корни будут: \(x_{1}=\frac{7-5}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\), \(x_{2}=\frac{7+5}{6}=\frac{12}{6}=2\).

Теперь найдём значения \(y\) для каждого найденного \(x\). Для первого корня: \(y_{1}=\frac{1}{3}-1=-\frac{2}{3}\). Для второго: \(y_{2}=2-1=1\). Таким образом, решения системы — это два упорядоченных набора: \((\frac{1}{3};-\frac{2}{3})\) и \((2;1)\).

2.
Вторая система: \(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{4}{5}\), \(3x+y=8\). Сначала выразим \(y\) через \(x\): \(y=8-3x\). Подставим это выражение во второе уравнение: \(\frac{1}{x}-\frac{1}{8-3x}=\frac{4}{5}\). Приведём к общему знаменателю: числитель \(8-3x-x=8-4x\), знаменатель \(x(8-3x)\), получаем \(\frac{8-4x}{x(8-3x)}=\frac{4}{5}\).

Умножим обе части на \(5x(8-3x)\), чтобы избавиться от дробей: \(5(8-4x)=4x(8-3x)\). Раскроем скобки: \(40-20x=32x-12x^{2}\). Переносим все слагаемые в одну сторону: \(12x^{2}-52x+40=0\). Разделим обе части на 4 для удобства: \(3x^{2}-13x+10=0\). Найдём дискриминант: \(D=(-13)^{2}-4\cdot3\cdot10=169-120=49\). Корни: \(x_{1}=\frac{13-7}{6}=1\), \(x_{2}=\frac{13+7}{6}=\frac{20}{6}=\frac{10}{3}\).

Подставим найденные значения \(x\) в выражение для \(y\). Для первого корня: \(y_{1}=8-3\cdot1=5\). Для второго: \(y_{2}=8-3\cdot\frac{10}{3}=8-10=-2\). Значит, решения второй системы — это \((1;5)\) и \((\frac{10}{3};-2)\).

3.
При решении обеих систем сначала выразили одну переменную через другую с помощью второго уравнения, затем подставили это выражение в первое уравнение, чтобы получить уравнение с одной переменной. После приведения к общему знаменателю и раскрытия скобок получили квадратные уравнения, для которых нашли дискриминант и корни. После этого подставили найденные значения переменной обратно, чтобы найти вторую переменную. Итоговые ответы для обеих систем:
\((\frac{1}{3};-\frac{2}{3})\), \((2;1)\)
\((1;5)\), \((\frac{10}{3};-2)\)