ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 464 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

1) \(\begin{cases}x^3 + y^3 = 1, \\x + y = 1;\end{cases}\)

2) \(\begin{cases}x^3 — y^3 = 28, \\x^2 + xy + y^2 = 7;\end{cases}\)

3)\(\begin{cases}x^2 — y^2 = 7, \\xy = 12;\end{cases}\)

4)\(\begin{cases}3x^2 — 2y^2 = 19, \\xy = -6.\end{cases}\)

1. Для системы \( (x^3 + y^3 = 1, x + y = 1) \): из второго уравнения \( y = 1 — x \), подставляем в первое, используя \( x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 — xy + y^2) = 1 \), получаем \( 3x^2 — 3x = 0 \), решения \( x = 0, 1 \), соответственно \( y = 1, 0 \). Ответ: \( (0, 1), (1, 0) \).

2. Для системы \( (x^3 — y^3 = 28, x^2 + xy + y^2 = 7) \): из первого уравнения \( (x — y) \cdot 7 = 28 \), значит \( x — y = 4 \), \( y = x — 4 \), подставляем во второе, получаем \( 3x^2 — 12x + 9 = 0 \), решения \( x = 3, 1 \), соответственно \( y = -1, -3 \). Ответ: \( (3, -1), (1, -3) \).

3. Для системы \( (x^2 — y^2 = 7, xy = 12) \): из второго уравнения \( y = \frac{12}{x} \), подставляем в первое, получаем \( x^4 — 7x^2 — 144 = 0 \), решения \( x^2 = 16 \), \( x = \pm 4 \), соответственно \( y = 3, -3 \). Ответ: \( (4, 3), (-4, -3) \).

4. Для системы \( (3x^2 — 2y^2 = 19, xy = -6) \): из второго уравнения \( y = -\frac{6}{x} \), подставляем в первое, получаем \( 3x^4 — 19x^2 — 72 = 0 \), решения \( x^2 = 9 \), \( x = \pm 3 \), соответственно \( y = -2, 2 \). Ответ: \( (3, -2), (-3, 2) \).

1. Рассмотрим систему уравнений \( (x^3 + y^3 = 1, x + y = 1) \). Начнем с анализа второго уравнения, которое является линейным и позволяет легко выразить одну переменную через другую. Из \( x + y = 1 \) следует, что \( y = 1 — x \). Это выражение для \( y \) мы подставим в первое уравнение, чтобы получить уравнение только с одной переменной \( x \).

Теперь обратимся к первому уравнению \( x^3 + y^3 = 1 \). Мы знаем, что сумма кубов может быть представлена как \( x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 — xy + y^2) \). Поскольку из второго уравнения \( x + y = 1 \), подставим это значение: \( 1 \cdot (x^2 — xy + y^2) = 1 \), то есть \( x^2 — xy + y^2 = 1 \). Далее подставим \( y = 1 — x \) в это выражение: \( x^2 — x(1 — x) + (1 — x)^2 = 1 \).

Раскроем скобки: \( x^2 — x + x^2 + 1 — 2x + x^2 = 1 \), что упрощается до \( 3x^2 — 3x + 1 = 1 \). Вычтем 1 из обеих сторон: \( 3x^2 — 3x = 0 \). Вынесем общий множитель: \( 3x(x — 1) = 0 \). Таким образом, решения: \( x = 0 \) или \( x = 1 \).

Для каждого значения \( x \) найдем соответствующее \( y \). Если \( x = 0 \), то \( y = 1 — 0 = 1 \). Если \( x = 1 \), то \( y = 1 — 1 = 0 \). Проверим эти пары в исходных уравнениях: для \( (0, 1) \) — \( 0^3 + 1^3 = 1 \) и \( 0 + 1 = 1 \), верно; для \( (1, 0) \) — \( 1^3 + 0^3 = 1 \) и \( 1 + 0 = 1 \), тоже верно. Ответ: \( (0, 1), (1, 0) \).

2. Перейдем к системе \( (x^3 — y^3 = 28, x^2 + xy + y^2 = 7) \). Заметим, что первое уравнение содержит разность кубов, которую можно разложить по формуле \( x^3 — y^3 = (x — y)(x^2 + xy + y^2) \). Учитывая, что второе уравнение уже дает нам \( x^2 + xy + y^2 = 7 \), подставим это значение в первое уравнение: \( (x — y) \cdot 7 = 28 \).

Решаем для \( x — y \): \( x — y = \frac{28}{7} = 4 \), откуда \( y = x — 4 \). Теперь подставим это выражение для \( y \) во второе уравнение: \( x^2 + x(x — 4) + (x — 4)^2 = 7 \). Раскроем скобки: \( x^2 + x^2 — 4x + x^2 — 8x + 16 = 7 \), что упрощается до \( 3x^2 — 12x + 16 = 7 \).

Вычтем 7 из обеих сторон: \( 3x^2 — 12x + 9 = 0 \). Разделим все на 3: \( x^2 — 4x + 3 = 0 \). Решаем это квадратное уравнение, вычисляя дискриминант: \( D = 16 — 12 = 4 \), так что \( x = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \). Получаем \( x = 3 \) или \( x = 1 \).

Для \( x = 3 \), \( y = 3 — 4 = -1 \); для \( x = 1 \), \( y = 1 — 4 = -3 \). Проверяем: для \( (3, -1) \) — \( 3^3 — (-1)^3 = 27 + 1 = 28 \) и \( 3^2 + 3 \cdot (-1) + (-1)^2 = 9 — 3 + 1 = 7 \), верно; для \( (1, -3) \) — \( 1^3 — (-3)^3 = 1 + 27 = 28 \) и \( 1^2 + 1 \cdot (-3) + (-3)^2 = 1 — 3 + 9 = 7 \), тоже верно. Ответ: \( (3, -1), (1, -3) \).

3. Рассмотрим систему \( (x^2 — y^2 = 7, xy = 12) \). Первое уравнение — это разность квадратов, но сначала используем второе уравнение для выражения \( y \): из \( xy = 12 \) следует \( y = \frac{12}{x} \). Подставим это в первое уравнение: \( x^2 — \left(\frac{12}{x}\right)^2 = 7 \).

Упростим: \( x^2 — \frac{144}{x^2} = 7 \). Умножим обе стороны на \( x^2 \), чтобы избавиться от дроби: \( x^4 — 144 = 7x^2 \), или \( x^4 — 7x^2 — 144 = 0 \). Это биквадратное уравнение, решим его, введя замену \( z = x^2 \), тогда \( z^2 — 7z — 144 = 0 \).

Вычислим дискриминант: \( D = 49 + 576 = 625 \), так что \( z = \frac{7 \pm \sqrt{625}}{2} = \frac{7 \pm 25}{2} \). Получаем \( z = 16 \) или \( z = -9 \). Поскольку \( z = x^2 \geq 0 \), отбрасываем отрицательное значение, остается \( x^2 = 16 \), откуда \( x = 4 \) или \( x = -4 \).

Для \( x = 4 \), \( y = \frac{12}{4} = 3 \); для \( x = -4 \), \( y = \frac{12}{-4} = -3 \). Проверяем: для \( (4, 3) \) — \( 4^2 — 3^2 = 16 — 9 = 7 \) и \( 4 \cdot 3 = 12 \), верно; для \( (-4, -3) \) — \( (-4)^2 — (-3)^2 = 16 — 9 = 7 \) и \( (-4) \cdot (-3) = 12 \), тоже верно. Ответ: \( (4, 3), (-4, -3) \).

4. Наконец, решим систему \( (3x^2 — 2y^2 = 19, xy = -6) \). Из второго уравнения выразим \( y = -\frac{6}{x} \). Подставим это в первое уравнение: \( 3x^2 — 2\left(-\frac{6}{x}\right)^2 = 19 \), что упрощается до \( 3x^2 — 2 \cdot \frac{36}{x^2} = 19 \), или \( 3x^2 — \frac{72}{x^2} = 19 \).

Умножим обе стороны на \( x^2 \): \( 3x^4 — 72 = 19x^2 \), или \( 3x^4 — 19x^2 — 72 = 0 \). Это биквадратное уравнение, используем замену \( z = x^2 \), тогда \( 3z^2 — 19z — 72 = 0 \). Дискриминант: \( D = 361 + 864 = 1225 \), так что \( z = \frac{19 \pm \sqrt{1225}}{6} = \frac{19 \pm 35}{6} \).

Получаем \( z = 9 \) или \( z = -\frac{16}{3} \). Отбрасываем отрицательное значение, остается \( x^2 = 9 \), откуда \( x = 3 \) или \( x = -3 \). Для \( x = 3 \), \( y = -\frac{6}{3} = -2 \); для \( x = -3 \), \( y = -\frac{6}{-3} = 2 \). Проверяем: для \( (3, -2) \) — \( 3 \cdot 3^2 — 2 \cdot (-2)^2 = 27 — 8 = 19 \) и \( 3 \cdot (-2) = -6 \), верно; для \( (-3, 2) \) — \( 3 \cdot (-3)^2 — 2 \cdot 2^2 = 27 — 8 = 19 \) и \( (-3) \cdot 2 = -6 \), тоже верно. Ответ: \( (3, -2), (-3, 2) \).