ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 465 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

1)\(\begin{cases}x^3 — y^3 = 56, \\x — y = 2;\end{cases}\)

2)\(\begin{cases}5x^2 — y^2 = -4, \\xy = 3.\end{cases}\)

1. Для системы уравнений с \(x^3 — y^3 = 56\) и \(x — y = 2\): используя формулу разности кубов \(x^3 — y^3 = (x — y)(x^2 + xy + y^2)\), подставляем \(x — y = 2\), получаем \(2(x^2 + xy + y^2) = 56\), то есть \(x^2 + xy + y^2 = 28\). Выражаем \(y = x — 2\), подставляем, решаем квадратное уравнение \(x^2 — 2x — 8 = 0\), получаем \(x = 4\) или \(x = -2\). Соответственно, \(y = 2\) и \(y = -4\). Ответ: \((4, 2)\), \((-2, -4)\).

2. Для системы уравнений с \(5x^2 — y^2 = -4\) и \(xy = 3\): выражаем \(y = \frac{3}{x}\), подставляем в первое уравнение, получаем \(5x^2 — \frac{9}{x^2} = -4\). Умножаем на \(x^2\), решаем \(5x^4 + 4x^2 — 9 = 0\), подставляем \(t = x^2\), находим \(t = 1\). Таким образом, \(x = \pm 1\), а \(y = \pm 3\). Ответ: \((1, 3)\), \((-1, -3)\).

1. Рассмотрим первую систему уравнений: \(x^3 — y^3 = 56\) и \(x — y = 2\). Для решения используем формулу разности кубов, которая гласит, что \(x^3 — y^3 = (x — y)(x^2 + xy + y^2)\). Поскольку \(x — y = 2\), подставим это значение в первое уравнение и получим \(2(x^2 + xy + y^2) = 56\).

Теперь упростим это выражение, разделив обе части на 2: \(x^2 + xy + y^2 = 28\). Далее, из второго уравнения выразим \(y\) через \(x\): \(y = x — 2\). Подставим это выражение в полученное ранее уравнение \(x^2 + xy + y^2 = 28\).

Выполним подстановку: \(x^2 + x(x — 2) + (x — 2)^2 = 28\). Раскроем скобки: \(x^2 + x^2 — 2x + (x^2 — 4x + 4) = 28\). Сложим подобные слагаемые: \(3x^2 — 6x + 4 = 28\). Перенесем 28 в левую часть: \(3x^2 — 6x + 4 — 28 = 0\), то есть \(3x^2 — 6x — 24 = 0\).

Упростим уравнение, разделив все члены на 3: \(x^2 — 2x — 8 = 0\). Решаем это квадратное уравнение через дискриминант: \(D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36\). Корни уравнения: \(x = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 6}{2}\). Таким образом, \(x_1 = \frac{2 + 6}{2} = 4\), а \(x_2 = \frac{2 — 6}{2} = -2\).

Для каждого значения \(x\) находим \(y\): если \(x = 4\), то \(y = 4 — 2 = 2\); если \(x = -2\), то \(y = -2 — 2 = -4\). Таким образом, решения первой системы: \((4, 2)\) и \((-2, -4)\).

2. Перейдем ко второй системе уравнений: \(5x^2 — y^2 = -4\) и \(xy = 3\). Начнем с того, что выразим \(y\) через \(x\) из второго уравнения: \(y = \frac{3}{x}\). Теперь подставим это выражение в первое уравнение системы.

Подстановка дает: \(5x^2 — \left(\frac{3}{x}\right)^2 = -4\). Упростим: \(5x^2 — \frac{9}{x^2} = -4\). Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на \(x^2\): \(5x^2 \cdot x^2 — 9 = -4 \cdot x^2\), то есть \(5x^4 — 9 = -4x^2\).

Перенесем все члены в одну сторону: \(5x^4 + 4x^2 — 9 = 0\). Для удобства введем замену \(t = x^2\), тогда уравнение примет вид \(5t^2 + 4t — 9 = 0\). Решаем это квадратное уравнение через дискриминант: \(D = 4^2 — 4 \cdot 5 \cdot (-9) = 16 + 180 = 196\).

Корни уравнения: \(t = \frac{-4 \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 5} = \frac{-4 \pm 14}{10}\). Таким образом, \(t_1 = \frac{-4 + 14}{10} = 1\), а \(t_2 = \frac{-4 — 14}{10} = -1.8\). Поскольку \(t = x^2\), а \(x^2\) не может быть отрицательным, принимаем только \(t = 1\).

Итак, \(x^2 = 1\), откуда \(x = 1\) или \(x = -1\). Для каждого значения \(x\) находим \(y\): если \(x = 1\), то \(y = \frac{3}{1} = 3\); если \(x = -1\), то \(y = \frac{3}{-1} = -3\). Таким образом, решения второй системы: \((1, 3)\) и \((-1, -3)\).