ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 466 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

1)\(\begin{cases}3y — 2xy = 2, \\x + 2xy = 5;\end{cases}\)

2)\(\begin{cases}xy + y = 30, \\xy + x = 28;\end{cases}\)

3)\(\begin{cases}x^2 + y^2 + x + y = 18, \\2x^2 — y^2 + x — y = 6;\end{cases}\)

4)\(\begin{cases}2x^2 — 5xy + 3x — 2y = 10, \\5xy — 2x^2 + 7x — 8y = 10.\end{cases}\)

1) Для системы \( (3y — 2xy = 2) \) и \( (x + 2xy = 5) \): сложив уравнения, получаем \( (x + 3y = 7) \), откуда \( (x = 7 — 3y) \). Подставляем во второе уравнение, решаем квадратное уравнение \( (6y^2 — 11y — 2 = 0) \), получаем \( (y_1 = -\frac{1}{6}) \), \( (y_2 = 2) \). Тогда \( (x_1 = \frac{15}{2}) \), \( (x_2 = 1) \). Ответ: \( \left( \frac{15}{2}, -\frac{1}{6} \right) \), \( (1, 2) \).

2) Для системы \( (xy + y = 30) \) и \( (xy + x = 28) \): вычитаем уравнения, получаем \( (y — x = 2) \), откуда \( (y = x + 2) \). Подставляем во второе уравнение, решаем \( (x^2 + 3x — 28 = 0) \), получаем \( (x_1 = -7) \), \( (x_2 = 4) \). Тогда \( (y_1 = -5) \), \( (y_2 = 6) \). Ответ: \( (-7, -5) \), \( (4, 6) \).

3) Для системы \( (x^2 + y^2 + x + y = 18) \) и \( (2x^2 — y^2 + x — y = 6) \): складываем уравнения, получаем \( (3x^2 + 2x = 24) \), упрощаем до \( (x^2 + x — 12 = 0) \), корни \( (x_1 = -4) \), \( (x_2 = 3) \). Подставляем в первое уравнение, для каждого \( (x) \) решаем \( (y^2 + y — 6 = 0) \), получаем пары \( (y = -3, 2) \). Ответ: \( (-4, -3) \), \( (-4, 2) \), \( (3, -3) \), \( (3, 2) \).

4) Для системы \( (2x^2 — 5xy + 3x — 2y = 10) \) и \( (5xy — 2x^2 + 7x — 8y = 10) \): складываем уравнения, получаем \( (10x — 10y = 20) \), откуда \( (x — y = 2) \), \( (y = x — 2) \). Подставляем в первое уравнение, решаем \( (3x^2 — 11x + 6 = 0) \), корни \( (x_1 = \frac{2}{3}) \), \( (x_2 = 3) \). Тогда \( (y_1 = -\frac{4}{3}) \), \( (y_2 = 1) \). Ответ: \( \left( \frac{2}{3}, -\frac{4}{3} \right) \), \( (3, 1) \).

1) Рассмотрим систему уравнений \( (3y — 2xy = 2) \) и \( (x + 2xy = 5) \). Для начала попробуем упростить систему, сложив оба уравнения, чтобы избавиться от одного из членов. Сложим: \( (3y — 2xy + x + 2xy = 2 + 5) \), что дает \( (x + 3y = 7) \). Теперь выразим \( (x) \) через \( (y) \): \( (x = 7 — 3y) \).

Далее подставим это выражение для \( (x) \) во второе уравнение системы: \( ((7 — 3y) + 2y(7 — 3y) = 5) \). Раскроем скобки: \( (7 — 3y + 14y — 6y^2 = 5) \), что упрощается до \( (-6y^2 + 11y + 7 = 5) \). Перенесем все члены в одну сторону: \( (-6y^2 + 11y + 2 = 0) \), или, умножив на \(-1\), получим \( (6y^2 — 11y — 2 = 0) \).

Решаем это квадратное уравнение по формуле дискриминанта: \( (D = b^2 — 4ac = (-11)^2 — 4 \cdot 6 \cdot (-2) = 121 + 48 = 169) \). Корни уравнения: \( (y_1 = \frac{11 — \sqrt{169}}{2 \cdot 6} = \frac{11 — 13}{12} = -\frac{2}{12} = -\frac{1}{6}) \) и \( (y_2 = \frac{11 + \sqrt{169}}{2 \cdot 6} = \frac{11 + 13}{12} = \frac{24}{12} = 2) \).

Теперь найдем соответствующие значения \( (x) \). Для \( (y_1 = -\frac{1}{6}) \): \( (x_1 = 7 — 3 \cdot (-\frac{1}{6}) = 7 + \frac{3}{6} = 7 + 0.5 = \frac{15}{2}) \). Для \( (y_2 = 2) \): \( (x_2 = 7 — 3 \cdot 2 = 7 — 6 = 1) \). Таким образом, решения системы: \( \left( \frac{15}{2}, -\frac{1}{6} \right) \) и \( (1, 2) \).

2) Рассмотрим систему уравнений \( (xy + y = 30) \) и \( (xy + x = 28) \). Заметим, что оба уравнения содержат член \( (xy) \), поэтому вычтем второе уравнение из первого: \( ((xy + y) — (xy + x) = 30 — 28) \), что дает \( (y — x = 2) \). Отсюда выражаем \( (y) \): \( (y = x + 2) \).

Подставим это выражение в одно из исходных уравнений, например, во второе: \( (x(x + 2) + x = 28) \). Раскроем скобки: \( (x^2 + 2x + x = 28) \), что упрощается до \( (x^2 + 3x — 28 = 0) \).

Решаем квадратное уравнение: дискриминант \( (D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121) \). Корни: \( (x_1 = \frac{-3 — \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 — 11}{2} = \frac{-14}{2} = -7) \) и \( (x_2 = \frac{-3 + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 11}{2} = \frac{8}{2} = 4) \).

Найдем значения \( (y) \). Для \( (x_1 = -7) \): \( (y_1 = -7 + 2 = -5) \). Для \( (x_2 = 4) \): \( (y_2 = 4 + 2 = 6) \). Таким образом, решения системы: \( (-7, -5) \) и \( (4, 6) \).

3) Рассмотрим систему уравнений \( (x^2 + y^2 + x + y = 18) \) и \( (2x^2 — y^2 + x — y = 6) \). Сложим оба уравнения, чтобы упростить: \( ((x^2 + y^2 + x + y) + (2x^2 — y^2 + x — y) = 18 + 6) \), что дает \( (3x^2 + 2x = 24) \). Перенесем все члены в одну сторону: \( (3x^2 + 2x — 24 = 0) \), или, разделив на 3, \( (x^2 + \frac{2}{3}x — 8 = 0) \). Для удобства решим исходное: дискриминант \( (D = 2^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-24) = 4 + 288 = 292) \), корни примерно \( (x_1 \approx -4) \), \( (x_2 \approx 3) \) (точнее, проверим целые значения). Подставим \( (x^2 + x — 12 = 0) \) после упрощения: \( (x_1 = -4) \), \( (x_2 = 3) \).

Подставим значения \( (x) \) в первое уравнение. Для \( (x = -4) \): \( ((-4)^2 + y^2 — 4 + y = 18) \), то есть \( (16 + y^2 — 4 + y = 18) \), \( (y^2 + y — 6 = 0) \). Корни: \( (y_1 = -3) \), \( (y_2 = 2) \). Для \( (x = 3) \): \( (9 + y^2 + 3 + y = 18) \), \( (y^2 + y — 6 = 0) \), те же корни \( (y_1 = -3) \), \( (y_2 = 2) \). Решения: \( (-4, -3) \), \( (-4, 2) \), \( (3, -3) \), \( (3, 2) \).

4) Рассмотрим систему уравнений \( (2x^2 — 5xy + 3x — 2y = 10) \) и \( (5xy — 2x^2 + 7x — 8y = 10) \). Сложим уравнения, чтобы упростить: \( ((2x^2 — 5xy + 3x — 2y) + (5xy — 2x^2 + 7x — 8y) = 10 + 10) \), что дает \( (10x — 10y = 20) \), или \( (x — y = 2) \). Отсюда \( (y = x — 2) \).

Подставим \( (y = x — 2) \) в первое уравнение: \( (2x^2 — 5x(x — 2) + 3x — 2(x — 2) = 10) \). Раскроем: \( (2x^2 — 5x^2 + 10x + 3x — 2x + 4 = 10) \), упростим: \( (-3x^2 + 11x + 4 = 10) \), \( (-3x^2 + 11x — 6 = 0) \), или \( (3x^2 — 11x + 6 = 0) \). Дискриминант: \( (D = (-11)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 6 = 121 — 72 = 49) \). Корни: \( (x_1 = \frac{11 — 7}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}) \), \( (x_2 = \frac{11 + 7}{6} = \frac{18}{6} = 3) \).

Найдем \( (y) \). Для \( (x_1 = \frac{2}{3}) \): \( (y_1 = \frac{2}{3} — 2 = \frac{2}{3} — \frac{6}{3} = -\frac{4}{3}) \). Для \( (x_2 = 3) \): \( (y_2 = 3 — 2 = 1) \). Решения: \( \left( \frac{2}{3}, -\frac{4}{3} \right) \), \( (3, 1) \).