ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 467 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

1)\(\begin{cases}x + y — xy = 1, \\x + y + xy = 9;\end{cases}\)

2)\(\begin{cases}3xy + 2x = -4, \\3xy + y = -8;\end{cases}\)

3)\(\begin{cases}xy — x = 24, \\xy — y = 25;\end{cases}\)

4)\(\begin{cases}2x^2 + y^2 = 66, \\2x^2 — y^2 = 34.\end{cases}\)

1) Система: \(\begin{cases} x + y — xy = 1 \\ x + y + xy = 9 \end{cases}\). Сложив уравнения, получаем \(x + y = 5\). Подставляя \(y = 5 — x\) в первое уравнение, решаем \(x^2 — 5x + 4 = 0\), корни \(x = 1\), \(x = 4\). Ответ: \((1, 4)\), \((4, 1)\).

2) Система: \(\begin{cases} 3xy + 2x = -4 \\ 3xy + y = -8 \end{cases}\). Вычитая уравнения, получаем \(y = 2x — 4\). Подставляя в первое, решаем \(3x^2 — 5x + 2 = 0\), корни \(x = \frac{2}{3}\), \(x = 1\). Ответ: \(\left(\frac{2}{3}, -\frac{8}{3}\right)\), \((1, -2)\).

3) Система: \(\begin{cases} xy — x = 24 \\ xy — y = 25 \end{cases}\). Вычитая уравнения, получаем \(y = x — 1\). Подставляя в первое, решаем \(x^2 — 2x — 24 = 0\), корни \(x = -4\), \(x = 6\). Ответ: \((-4, -5)\), \((6, 5)\).

4) Система: \(\begin{cases} 2x^2 + y^2 = 66 \\ 2x^2 — y^2 = 34 \end{cases}\). Сложив уравнения, получаем \(x^2 = 25\), \(x = \pm 5\). Подставляя, находим \(y^2 = 16\), \(y = \pm 4\). Ответ: \((5, 4)\), \((5, -4)\), \((-5, 4)\), \((-5, -4)\).

1) Рассмотрим систему уравнений \(\begin{cases} x + y — xy = 1 \\ x + y + xy = 9 \end{cases}\). Для решения сложим оба уравнения, чтобы исключить слагаемое с \(xy\). Получаем: \((x + y — xy) + (x + y + xy) = 1 + 9\), что упрощается до \(2x + 2y = 10\), а значит \(x + y = 5\).

Теперь выразим \(y\) через \(x\): \(y = 5 — x\). Подставим это выражение в первое уравнение: \(x + (5 — x) — x(5 — x) = 1\). Раскроем скобки: \(x + 5 — x — (5x — x^2) = 1\), что упрощается до \(5 — 5x + x^2 = 1\). Перенесем все члены в одну сторону: \(x^2 — 5x + 4 = 0\).

Решаем квадратное уравнение \(x^2 — 5x + 4 = 0\). Вычислим дискриминант: \(D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9\). Корни уравнения: \(x_1 = \frac{5 — \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 — 3}{2} = 1\), \(x_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = 4\).

Для каждого значения \(x\) находим \(y\): если \(x = 1\), то \(y = 5 — 1 = 4\); если \(x = 4\), то \(y = 5 — 4 = 1\). Таким образом, решения системы: \((1, 4)\) и \((4, 1)\).

2) Рассмотрим систему уравнений \(\begin{cases} 3xy + 2x = -4 \\ 3xy + y = -8 \end{cases}\). Чтобы исключить \(3xy\), вычтем второе уравнение из первого: \((3xy + 2x) — (3xy + y) = -4 — (-8)\), что дает \(2x — y = 4\). Выразим \(y\): \(y = 2x — 4\).

Подставим \(y = 2x — 4\) в первое уравнение: \(3x(2x — 4) + 2x = -4\). Раскроем скобки: \(6x^2 — 12x + 2x = -4\), что упрощается до \(6x^2 — 10x + 4 = 0\). Поделим все на 2: \(3x^2 — 5x + 2 = 0\).

Решаем уравнение \(3x^2 — 5x + 2 = 0\). Дискриминант: \(D = (-5)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 — 24 = 1\). Корни: \(x_1 = \frac{5 — \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 — 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\), \(x_2 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 1}{6} = 1\).

Находим \(y\): для \(x = \frac{2}{3}\) имеем \(y = 2 \cdot \frac{2}{3} — 4 = \frac{4}{3} — \frac{12}{3} = -\frac{8}{3}\); для \(x = 1\) имеем \(y = 2 \cdot 1 — 4 = -2\). Решения: \(\left(\frac{2}{3}, -\frac{8}{3}\right)\) и \((1, -2)\).

3) Рассмотрим систему уравнений \(\begin{cases} xy — x = 24 \\ xy — y = 25 \end{cases}\). Вычтем первое уравнение из второго: \((xy — y) — (xy — x) = 25 — 24\), что дает \(-y + x = 1\), или \(x — y = 1\). Выразим \(y\): \(y = x — 1\).

Подставим \(y = x — 1\) в первое уравнение: \(x(x — 1) — x = 24\). Раскроем скобки: \(x^2 — x — x = 24\), что упрощается до \(x^2 — 2x — 24 = 0\).

Решаем уравнение \(x^2 — 2x — 24 = 0\). Дискриминант: \(D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100\). Корни: \(x_1 = \frac{2 — \sqrt{100}}{2} = \frac{2 — 10}{2} = -4\), \(x_2 = \frac{2 + \sqrt{100}}{2} = \frac{2 + 10}{2} = 6\).

Находим \(y\): для \(x = -4\) имеем \(y = -4 — 1 = -5\); для \(x = 6\) имеем \(y = 6 — 1 = 5\). Решения: \((-4, -5)\) и \((6, 5)\).

4) Рассмотрим систему уравнений \(\begin{cases} 2x^2 + y^2 = 66 \\ 2x^2 — y^2 = 34 \end{cases}\). Сложим оба уравнения, чтобы исключить \(y^2\): \((2x^2 + y^2) + (2x^2 — y^2) = 66 + 34\), что дает \(4x^2 = 100\), или \(x^2 = 25\), откуда \(x = \pm 5\).

Подставим значения \(x\) во второе уравнение. Для \(x = 5\): \(2 \cdot 5^2 — y^2 = 34\), то есть \(50 — y^2 = 34\), откуда \(y^2 = 16\), \(y = \pm 4\). Для \(x = -5\): \(2 \cdot (-5)^2 — y^2 = 34\), то есть \(50 — y^2 = 34\), откуда \(y^2 = 16\), \(y = \pm 4\).

Получаем четыре решения: \((5, 4)\), \((5, -4)\), \((-5, 4)\), \((-5, -4)\).