ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 468 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

1)\(\begin{cases}x^2 — 12xy + 36y^2 = 36, \\x + 6y = 8;\end{cases}\)

2)\(\begin{cases}y^2 — 2xy = 32, \\x^2 + 6xy + 9y^2 = 100;\end{cases}\)

3)\(\begin{cases}x^2 + y^2 = 25, \\xy = 12;\end{cases}\)

4)\(\begin{cases}9x^2 + y^2 = 10, \\xy = -1.\end{cases}\)

1) Для системы уравнений с \(x^2 — 12xy + 36y^2 = 36\) и \(x + 6y = 8\), первое уравнение преобразуется в \((x — 6y)^2 = 36\), откуда \(x — 6y = \pm 6\). Подставляя в линейное уравнение, получаем решения: \((1, \frac{7}{6})\), \((7, \frac{1}{6})\).

2) Для системы с \(y^2 — 2xy = 32\) и \(x^2 + 6xy + 9y^2 = 100\), второе уравнение преобразуется в \((x + 3y)^2 = 100\), откуда \(x + 3y = \pm 10\). Подставляя в первое уравнение и решая квадратичные уравнения, получаем решения: \((2, -4)\), \(\left(-\frac{94}{7}, \frac{8}{7}\right)\), \(\left(\frac{94}{7}, -\frac{8}{7}\right)\), \((-2, 4)\).

3) Для системы с \(x^2 + y^2 = 25\) и \(xy = 12\), из второго уравнения \(y = \frac{12}{x}\), подставляем в первое, получаем уравнение \(x^4 — 25x^2 + 144 = 0\), решения которого дают пары: \((4, 3)\), \((-4, -3)\), \((3, 4)\), \((-3, -4)\).

4) Для системы с \(9x^2 + y^2 = 10\) и \(xy = -1\), из второго уравнения \(y = -\frac{1}{x}\), подставляем в первое, получаем уравнение \(9x^4 — 10x^2 + 1 = 0\), решения которого дают пары: \((1, -1)\), \((-1, 1)\), \(\left(\frac{1}{3}, -3\right)\), \(\left(-\frac{1}{3}, 3\right)\).

1) Решаем систему с уравнениями \(x^2 — 12xy + 36y^2 = 36\) и \(x + 6y = 8\). Первое уравнение похоже на квадрат, перепишем как \((x — 6y)^2 = 36\), значит \(x — 6y = 6\) или \(x — 6y = -6\). Для первого случая \(x = 6y + 6\), подставляем во второе уравнение: \(6y + 6 + 6y = 8\), \(12y = 2\), \(y = \frac{1}{6}\), тогда \(x = 6 \cdot \frac{1}{6} + 6 = 7\). Для второго случая \(x = 6y — 6\), подставляем: \(6y — 6 + 6y = 8\), \(12y = 14\), \(y = \frac{7}{6}\), тогда \(x = 6 \cdot \frac{7}{6} — 6 = 1\). Ответ: \((1, \frac{7}{6})\), \((7, \frac{1}{6})\).

2) Система \(y^2 — 2xy = 32\) и \(x^2 + 6xy + 9y^2 = 100\). Второе уравнение это \((x + 3y)^2 = 100\), значит \(x + 3y = 10\) или \(x + 3y = -10\). Для \(x = 10 — 3y\), подставляем в первое: \(y^2 — 2y(10 — 3y) = 32\), \(7y^2 — 20y — 32 = 0\), решаем, \(y = 4\) или \(y = -\frac{8}{7}\), тогда \(x = -2\) или \(x = \frac{94}{7}\). Для \(x = -10 — 3y\), подставляем: \(7y^2 + 20y — 32 = 0\), \(y = -4\) или \(y = \frac{8}{7}\), тогда \(x = 2\) или \(x = -\frac{94}{7}\). Ответ: \((2, -4)\), \(\left(-\frac{94}{7}, \frac{8}{7}\right)\), \(\left(\frac{94}{7}, -\frac{8}{7}\right)\), \((-2, 4)\).

3) Система \(x^2 + y^2 = 25\) и \(xy = 12\). Из второго \(y = \frac{12}{x}\), подставляем в первое: \(x^2 + \left(\frac{12}{x}\right)^2 = 25\), умножаем на \(x^2\): \(x^4 — 25x^2 + 144 = 0\). Решаем, \(x^2 = 16\) или \(x^2 = 9\), значит \(x = \pm 4\) или \(x = \pm 3\). Тогда \(y = \frac{12}{x}\), получаем пары: \((4, 3)\), \((-4, -3)\), \((3, 4)\), \((-3, -4)\). Ответ: \((4, 3)\), \((-4, -3)\), \((3, 4)\), \((-3, -4)\).

4) Система \(9x^2 + y^2 = 10\) и \(xy = -1\). Из второго \(y = -\frac{1}{x}\), подставляем в первое: \(9x^2 + \left(-\frac{1}{x}\right)^2 = 10\), умножаем на \(x^2\): \(9x^4 — 10x^2 + 1 = 0\). Решаем, \(x^2 = 1\) или \(x^2 = \frac{1}{9}\), значит \(x = \pm 1\) или \(x = \pm \frac{1}{3}\). Тогда \(y = -\frac{1}{x}\), получаем пары: \((1, -1)\), \((-1, 1)\), \(\left(\frac{1}{3}, -3\right)\), \(\left(-\frac{1}{3}, 3\right)\). Ответ: \((1, -1)\), \((-1, 1)\), \(\left(\frac{1}{3}, -3\right)\), \(\left(-\frac{1}{3}, 3\right)\).