ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 469 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

1)\(\begin{cases}x^2 + 10xy + 25y^2 = 49, \\x — 5y = -3;\end{cases}\)

2)\(\begin{cases}x^2 + 4xy + 4y^2 = 4x + 2y, \\x + 2y = 4;\end{cases}\)

3)\(\begin{cases}x^2 + y^2 = 10, \\xy = 3;\end{cases}\)

4)\(\begin{cases}x^2 + 25y^2 = 104, \\xy = -4.\end{cases}\)

1. Для системы \( (x^2 + 10xy + 25y^2 = 49) \) и \( (x — 5y = -3) \): переписываем первое как \( ((x + 5y)^2 = 49) \), откуда \( (x + 5y = \pm 7) \). Подставляя \( (x = 5y — 3) \), для \( (x + 5y = -7) \) получаем \( (y = -0.4, x = -5) \), для \( (x + 5y = 7) \) — \( (y = 1, x = 2) \). Ответ: \( ((-5, -0.4), (2, 1)) \).

2. Для системы \( (x^2 + 4xy + 4y^2 = 4x + 2y) \) и \( (x + 2y = 4) \): первое уравнение как \( ((x + 2y)^2 = 4x + 2y) \), подставляем \( (x + 2y = 4) \), получаем \( (16 = 4x + 2y) \), решаем с \( (x + 2y = 4) \), находим \( (x = 4, y = 0) \). Ответ: \( ((4, 0)) \).

3. Для системы \( (x^2 + y^2 = 10) \) и \( (xy = 3) \): из второго \( (y = \frac{3}{x}) \), подставляем в первое, получаем \( (x^2 + \frac{9}{x^2} = 10) \), умножаем на \( (x^2) \), решаем \( (x^4 — 10x^2 + 9 = 0) \), находим \( (x = \pm 1, \pm 3) \), соответствующие \( (y) \). Ответ: \( ((3, 1), (-3, -1), (1, 3), (-1, -3)) \).

4. Для системы \( (x^2 + 25y^2 = 104) \) и \( (xy = -4) \): из второго \( (x = -\frac{4}{y}) \), подставляем в первое, получаем \( (\frac{16}{y^2} + 25y^2 = 104) \), умножаем на \( (y^2) \), решаем \( (25y^4 — 104y^2 + 16 = 0) \), находим \( (y = \pm 2, \pm 0.4) \), соответствующие \( (x) \). Ответ: \( ((-2, 2), (2, -2), (-10, 0.4), (10, -0.4)) \).

1. Рассмотрим систему уравнений \( (x^2 + 10xy + 25y^2 = 49) \) и \( (x — 5y = -3) \). Первым делом замечаем, что левая часть первого уравнения может быть представлена как квадрат суммы: \( (x^2 + 10xy + 25y^2 = (x + 5y)^2) \). Таким образом, первое уравнение преобразуется в \( ((x + 5y)^2 = 49) \), откуда следует, что \( (x + 5y = \pm 7) \). Это дает нам два возможных случая: \( (x + 5y = 7) \) и \( (x + 5y = -7) \).

Из второго уравнения выражаем \( (x) \): \( (x = 5y — 3) \). Подставляем это выражение в каждый из случаев. Для \( (x + 5y = -7) \): \( ((5y — 3) + 5y = -7) \), что упрощается до \( (10y — 3 = -7) \), далее \( (10y = -4) \), и получаем \( (y = -0.4) \). Тогда \( (x = 5*(-0.4) — 3 = -2 — 3 = -5) \). Первое решение: \( ((-5, -0.4)) \).

Для второго случая \( (x + 5y = 7) \): подставляем \( (x = 5y — 3) \), получаем \( ((5y — 3) + 5y = 7) \), упрощаем до \( (10y — 3 = 7) \), далее \( (10y = 10) \), и \( (y = 1) \). Тогда \( (x = 5*1 — 3 = 5 — 3 = 2) \). Второе решение: \( ((2, 1)) \). Итоговый ответ для первой системы: \( ((-5, -0.4), (2, 1)) \).

2. Переходим к системе \( (x^2 + 4xy + 4y^2 = 4x + 2y) \) и \( (x + 2y = 4) \). Заметим, что левая часть первого уравнения является квадратом: \( (x^2 + 4xy + 4y^2 = (x + 2y)^2) \). Таким образом, уравнение принимает вид \( ((x + 2y)^2 = 4x + 2y) \).

Из второго уравнения мы знаем, что \( (x + 2y = 4) \). Подставляем это значение в преобразованное первое уравнение: \( (4^2 = 4x + 2y) \), что дает \( (16 = 4x + 2y) \). Упростим это выражение: \( (4x + 2y = 16) \), делим на 2, получаем \( (2x + y = 8) \), откуда \( (y = 8 — 2x) \).

Теперь подставляем \( (y = 8 — 2x) \) во второе уравнение \( (x + 2y = 4) \): \( (x + 2*(8 — 2x) = 4) \), упрощаем \( (x + 16 — 4x = 4) \), получаем \( (-3x + 16 = 4) \), далее \( (-3x = -12) \), и \( (x = 4) \). Тогда \( (y = 8 — 2*4 = 8 — 8 = 0) \). Итоговое решение для второй системы: \( ((4, 0)) \).

3. Рассмотрим систему \( (x^2 + y^2 = 10) \) и \( (xy = 3) \). Здесь удобно использовать подстановку. Из второго уравнения выражаем \( (y = \frac{3}{x}) \). Подставляем это в первое уравнение: \( (x^2 + (\frac{3}{x})^2 = 10) \), что упрощается до \( (x^2 + \frac{9}{x^2} = 10) \).

Умножим обе стороны на \( (x^2) \), чтобы избавиться от дроби: \( (x^4 + 9 = 10x^2) \), преобразуем в \( (x^4 — 10x^2 + 9 = 0) \). Это биквадратное уравнение, решаем его, вводя замену \( (z = x^2) \), получаем \( (z^2 — 10z + 9 = 0) \). Дискриминант: \( (D = 10^2 — 4*1*9 = 100 — 36 = 64) \). Корни: \( (z = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{10 \pm 8}{2}) \), то есть \( (z = 9) \) или \( (z = 1) \).

Для \( (z = 9) \): \( (x^2 = 9) \), откуда \( (x = \pm 3) \). Если \( (x = 3) \), то \( (y = \frac{3}{3} = 1) \); если \( (x = -3) \), то \( (y = \frac{3}{-3} = -1) \). Для \( (z = 1) \): \( (x^2 = 1) \), откуда \( (x = \pm 1) \). Если \( (x = 1) \), то \( (y = \frac{3}{1} = 3) \); если \( (x = -1) \), то \( (y = \frac{3}{-1} = -3) \). Итоговый ответ для третьей системы: \( ((3, 1), (-3, -1), (1, 3), (-1, -3)) \).

4. Наконец, решаем систему \( (x^2 + 25y^2 = 104) \) и \( (xy = -4) \). Из второго уравнения выражаем \( (x = -\frac{4}{y}) \). Подставляем это в первое уравнение: \( ((-\frac{4}{y})^2 + 25y^2 = 104) \), что дает \( (\frac{16}{y^2} + 25y^2 = 104) \).

Умножим обе стороны на \( (y^2) \), чтобы убрать дробь: \( (16 + 25y^4 = 104y^2) \), преобразуем в \( (25y^4 — 104y^2 + 16 = 0) \). Это также биквадратное уравнение, используем замену \( (z = y^2) \), получаем \( (25z^2 — 104z + 16 = 0) \). Дискриминант: \( (D = 104^2 — 4*25*16 = 10816 — 1600 = 9216) \). Корни: \( (z = \frac{104 \pm \sqrt{9216}}{50} = \frac{104 \pm 96}{50}) \), то есть \( (z = \frac{200}{50} = 4) \) или \( (z = \frac{8}{50} = 0.16) \).

Для \( (z = 4) \): \( (y^2 = 4) \), откуда \( (y = \pm 2) \). Если \( (y = 2) \), то \( (x = -\frac{4}{2} = -2) \); если \( (y = -2) \), то \( (x = -\frac{4}{-2} = 2) \). Для \( (z = 0.16) \): \( (y^2 = 0.16) \), откуда \( (y = \pm 0.4) \). Если \( (y = 0.4) \), то \( (x = -\frac{4}{0.4} = -10) \); если \( (y = -0.4) \), то \( (x = -\frac{4}{-0.4} = 10) \). Итоговый ответ для четвертой системы: \( ((-2, 2), (2, -2), (-10, 0.4), (10, -0.4)) \).