ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 470 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях a система уравнений

\(\left\{\begin{aligned}x^2 + y^2 = 9,\\x — y = a\end{aligned}\right.\)

1) имеет одно решение;

2) имеет два решения;

3) не имеет решений?

Система уравнений \(\left\{\begin{array}{l} x^2 + y^2 = 9 \\ x — y = a \end{array}\right.\) решается подстановкой \(y = x — a\) в первое уравнение, что приводит к \(2x^2 — 2ax + a^2 — 9 = 0\). Дискриминант \(D = 72 — 4a^2\).

1. Одно решение при \(D = 0\), то есть \(a = \pm 3\sqrt{2}\).
2. Два решения при \(D > 0\), то есть \(-3\sqrt{2} < a < 3\sqrt{2}\).
3. Нет решений при \(D < 0\), то есть \(a < -3\sqrt{2}\) или \(a > 3\sqrt{2}\).

Для системы уравнений \(\left\{\begin{array}{l} x^2 + y^2 = 9 \\ x — y = a \end{array}\right.\) необходимо определить значения параметра \(a\), при которых система имеет одно решение, два решения или не имеет решений. Рассмотрим решение пошагово.

Сначала возьмем второе уравнение \(x — y = a\) и выразим из него переменную \(y\). Получаем \(y = x — a\). Это выражение можно подставить в первое уравнение системы, чтобы исключить одну из переменных.

Подставим \(y = x — a\) в уравнение \(x^2 + y^2 = 9\). Тогда получаем \(x^2 + (x — a)^2 = 9\). Раскроем скобки в выражении \((x — a)^2\), что дает \(x^2 — 2ax + a^2\). Таким образом, уравнение принимает вид \(x^2 + (x^2 — 2ax + a^2) = 9\), или \(2x^2 — 2ax + a^2 = 9\).

Приведем это уравнение к стандартному виду, вычтя 9 из обеих сторон: \(2x^2 — 2ax + a^2 — 9 = 0\). Это квадратное уравнение относительно переменной \(x\), и число его решений зависит от значения дискриминанта.

Вычислим дискриминант \(D\) по формуле \(D = b^2 — 4ac\), где для нашего уравнения \(a = 2\), \(b = -2a\), \(c = a^2 — 9\). Подставим эти значения: \(D = (-2a)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (a^2 — 9) = 4a^2 — 8(a^2 — 9)\). Упростим выражение: \(4a^2 — 8a^2 + 72 = -4a^2 + 72\). Таким образом, \(D = 72 — 4a^2\).

Теперь проанализируем значение дискриминанта \(D\), чтобы определить количество решений. Если \(D > 0\), уравнение имеет два различных действительных корня. Если \(D = 0\), уравнение имеет один корень. Если \(D < 0\), действительных корней нет.

Рассмотрим случай, когда \(D = 0\), что соответствует одному решению. Решаем уравнение \(72 — 4a^2 = 0\), откуда \(4a^2 = 72\), \(a^2 = 18\), \(a = \pm \sqrt{18} = \pm 3\sqrt{2}\). Значит, при \(a = 3\sqrt{2}\) или \(a = -3\sqrt{2}\) система имеет одно решение.

Далее рассмотрим случай \(D > 0\), что соответствует двум решениям. Решаем неравенство \(72 — 4a^2 > 0\), откуда \(4a^2 < 72\), \(a^2 < 18\), а значит, \(-\sqrt{18} < a < \sqrt{18}\), или \(-3\sqrt{2} < a < 3\sqrt{2}\). При этих значениях \(a\) система имеет два решения.

Наконец, рассмотрим случай \(D < 0\), что соответствует отсутствию решений. Решаем неравенство \(72 — 4a^2 < 0\), откуда \(4a^2 > 72\), \(a^2 > 18\), а значит, \(a < -3\sqrt{2}\) или \(a > 3\sqrt{2}\). При этих значениях \(a\) система не имеет решений.

Итак, подведем итоги: система имеет одно решение при \(a = \pm 3\sqrt{2}\), два решения при \(-3\sqrt{2} < a < 3\sqrt{2}\) и не имеет решений при \(a < -3\sqrt{2}\) или \(a > 3\sqrt{2}\).