ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 471 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях k система уравнений

\(\left\{\begin{aligned}y — x^2 = 4,\\y = kx + 3\end{aligned}\right.\)

1) имеет одно решение;

2) имеет два решения;

3) не имеет решений?

Система уравнений \(\left\{\begin{array}{l} y — x^2 = 4 \\ y = kx + 3 \end{array}\right.\) сводится к квадратному уравнению \(x^2 — kx + 1 = 0\) после подстановки \(y\). Дискриминант \(D = k^2 — 4\).

1. Одно решение при \(D = 0\), то есть \(k^2 — 4 = 0\), откуда \(k = \pm 2\).
2. Два решения при \(D > 0\), то есть \(k^2 — 4 > 0\), откуда \(k < -2\) или \(k > 2\).
3. Нет решений при \(D < 0\), то есть \(k^2 — 4 < 0\), откуда \(-2 < k < 2\).

Для решения задачи о системе уравнений и определения количества решений в зависимости от значения параметра \(k\), рассмотрим систему \(\left\{\begin{array}{l} y — x^2 = 4 \\ y = kx + 3 \end{array}\right.\). Наша цель — определить, при каких значениях \(k\) система имеет одно, два или ни одного решения.

Сначала подставим значение \(y\) из второго уравнения в первое. Из второго уравнения \(y = kx + 3\), подставляем это выражение в первое уравнение: \(kx + 3 — x^2 = 4\). Упростим это выражение, перенеся все члены в одну сторону: \(kx + 3 — x^2 — 4 = 0\), что дает \(-x^2 + kx — 1 = 0\). Умножим уравнение на \(-1\), чтобы старший коэффициент был положительным: \(x^2 — kx + 1 = 0\). Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(x\).

Для квадратного уравнения вида \(ax^2 + bx + c = 0\) количество решений определяется дискриминантом \(D = b^2 — 4ac\). В нашем случае \(a = 1\), \(b = -k\), \(c = 1\), поэтому вычислим дискриминант: \(D = (-k)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = k^2 — 4\). Значение \(D\) определяет, сколько корней имеет уравнение, а следовательно, сколько решений имеет система.

1. Если \(D = 0\), то уравнение имеет один корень (одно решение системы). Решаем \(k^2 — 4 = 0\), откуда \(k^2 = 4\), а значит \(k = 2\) или \(k = -2\). Таким образом, при \(k = \pm 2\) система имеет одно решение.

2. Если \(D > 0\), то уравнение имеет два различных корня (два решения системы). Решаем неравенство \(k^2 — 4 > 0\), что эквивалентно \(k^2 > 4\). Это выполняется, когда \(k > 2\) или \(k < -2\). Следовательно, при \(k < -2\) или \(k > 2\) система имеет два решения.

3. Если \(D < 0\), то уравнение не имеет действительных корней (система не имеет решений). Решаем неравенство \(k^2 — 4 < 0\), что эквивалентно \(k^2 < 4\). Это выполняется, когда \(-2 < k < 2\). Таким образом, при \(-2 < k < 2\) система не имеет решений.

Итак, количество решений системы уравнений зависит от значения параметра \(k\), и мы определили все возможные случаи на основе дискриминанта квадратного уравнения.