ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 472 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сколько решений в зависимости от значения a имеет система уравнений:

1) \(\left\{\begin{aligned}y = |x|,\\x^2 + y = a;\end{aligned}\right.\)

2) \(\left\{\begin{aligned}x^2 + y^2 = a^2,\\|x| = 4;\end{aligned}\right.\)

3) \(\left\{\begin{aligned}y — x = 1,\\xy = a;\end{aligned} \right.\)

4) \(\left\{\begin{aligned}x^2 + y^2 = 4,\\y = x^2 + a^2\end{aligned}\right.\)

1) Система \(\left\{\begin{aligned} y = |x|, \\ x^2 + y = a; \end{aligned}\right.\):
При \(a > 0\) — 2 решения, так как график \(y = |x|\) пересекает параболу \(y = a — x^2\) в двух точках. При \(a = 0\) — 1 решение (касание в начале координат). При \(a < 0\) — 0 решений, так как парабола опускается ниже оси \(x\).

2) Система \(\left\{\begin{aligned} x^2 + y^2 = a^2, \\ |x| = 4; \end{aligned}\right.\):
При \(|a| > 4\) — 4 решения, так как вертикальные линии \(x = \pm 4\) пересекают окружность в двух точках каждая. При \(|a| = 4\) — 2 решения (касание на оси \(y\)). При \(|a| < 4\) — 0 решений, так как окружность не доходит до линий.

3) Система \(\left\{\begin{aligned} y — x = 1, \\ xy = a; \end{aligned}\right.\):
При \(a > -\frac{1}{4}\) — 2 решения, так как уравнение \(x^2 + x — a = 0\) имеет положительный дискриминант. При \(a = -\frac{1}{4}\) — 1 решение (дискриминант равен нулю). При \(a < -\frac{1}{4}\) — 0 решений.

4) Система \(\left\{\begin{aligned} x^2 + y^2 = 4, \\ y = x^2 + a^2; \end{aligned}\right.\):
При небольших \(|a|\) (примерно \(|a| < \sqrt{2}\)) — до 2 решений, так как парабола пересекает окружность. При больших \(|a|\) — 0 решений, так как парабола уходит выше или ниже окружности. Точное количество зависит от значения \(a\).

1) Рассмотрим систему уравнений \(\left\{\begin{aligned} y = |x|, \\ x^2 + y = a; \end{aligned}\right.\). Эта система описывает пересечение графика функции \(y = |x|\), который представляет собой V-образную линию с вершиной в начале координат, и параболы \(y = a — x^2\), которая открыта вниз и смещена по оси \(y\) на величину \(a\). Чтобы найти количество решений, подставим \(y = |x|\) во второе уравнение, получив \(x^2 + |x| = a\).

Поскольку функция \(|x|\) зависит от знака \(x\), рассмотрим два случая. Первый случай: \(x \geq 0\), тогда \(|x| = x\), и уравнение принимает вид \(x^2 + x = a\), или \(x^2 + x — a = 0\). Это квадратное уравнение с дискриминантом \(D = 1 + 4a\). Если \(a > -\frac{1}{4}\), то \(D > 0\), и уравнение имеет два действительных корня. Если \(a = -\frac{1}{4}\), то \(D = 0\), и есть один корень. Если \(a < -\frac{1}{4}\), то \(D < 0\), и корней нет. Поскольку \(x \geq 0\), нужно проверить, удовлетворяют ли корни этому условию, но в данном случае оба корня (или единственный корень) могут быть положительными при соответствующих значениях \(a\).

Второй случай: \(x < 0\), тогда \(|x| = -x\), и уравнение становится \(x^2 — x = a\), или \(x^2 — x — a = 0\). Дискриминант тот же, \(D = 1 + 4a\), и условия на количество корней аналогичны. Однако, поскольку \(x < 0\), нужно убедиться, что корни отрицательны, что также зависит от \(a\).

Общий анализ показывает, что при \(a > 0\) парабола \(y = a — x^2\) пересекает оба луча \(y = |x|\) (левый и правый), давая два решения. При \(a = 0\) парабола касается луча только в одной точке \((0, 0)\), что дает одно решение. При \(a < 0\) парабола опускается ниже, и пересечений нет (особенно если \(a < -\frac{1}{4}\)). Итог: при \(a > 0\) — 2 решения, при \(a = 0\) — 1 решение, при \(a < 0\) — 0 решений.

2) Рассмотрим систему \(\left\{\begin{aligned} x^2 + y^2 = a^2, \\ |x| = 4; \end{aligned}\right.\). Первое уравнение описывает окружность радиусом \(|a|\) с центром в начале координат, а второе уравнение задает две вертикальные прямые \(x = 4\) и \(x = -4\). Нам нужно найти точки пересечения этих прямых с окружностью.

Подставим \(x = 4\) в уравнение окружности: \(16 + y^2 = a^2\), откуда \(y^2 = a^2 — 16\). Для действительных значений \(y\) необходимо, чтобы \(a^2 — 16 \geq 0\), то есть \(|a| \geq 4\). Если \(|a| > 4\), то \(y = \pm \sqrt{a^2 — 16}\), что дает две точки пересечения для \(x = 4\). Аналогично для \(x = -4\): \(y^2 = a^2 — 16\), и при \(|a| > 4\) также две точки пересечения.

Если \(|a| = 4\), то \(y^2 = 0\), и \(y = 0\), что дает по одной точке на каждой прямой: \((4, 0)\) и \((-4, 0)\), итого 2 решения. Если \(|a| < 4\), то \(a^2 — 16 < 0\), и \(y^2\) становится отрицательным, что невозможно, значит, решений нет.

Итог: при \(|a| > 4\) — 4 решения (по две точки на каждой прямой), при \(|a| = 4\) — 2 решения, при \(|a| < 4\) — 0 решений.

3) Рассмотрим систему \(\left\{\begin{aligned} y — x = 1, \\ xy = a; \end{aligned}\right.\). Первое уравнение описывает прямую \(y = x + 1\), а второе — гиперболу \(xy = a\). Выразим \(y\) из первого уравнения как \(y = x + 1\) и подставим во второе: \(x(x + 1) = a\), что приводит к квадратному уравнению \(x^2 + x — a = 0\).

Дискриминант этого уравнения равен \(D = 1 + 4a\). Количество действительных корней зависит от знака дискриминанта. Если \(a > -\frac{1}{4}\), то \(D > 0\), и уравнение имеет два различных действительных корня, что соответствует двум точкам пересечения прямой и гиперболы. Если \(a = -\frac{1}{4}\), то \(D = 0\), и есть один корень (прямая касается гиперболы в одной точке). Если \(a < -\frac{1}{4}\), то \(D < 0\), и действительных корней нет, значит, решений нет.

Итог: при \(a > -\frac{1}{4}\) — 2 решения, при \(a = -\frac{1}{4}\) — 1 решение, при \(a < -\frac{1}{4}\) — 0 решений.

4) Рассмотрим систему \(\left\{\begin{aligned} x^2 + y^2 = 4, \\ y = x^2 + a^2; \end{aligned}\right.\). Первое уравнение описывает окружность радиусом 2 с центром в начале координат, а второе — параболу, открытую вверх, с вершиной в точке \((0, a^2)\). Подставим \(y = x^2 + a^2\) в первое уравнение: \(x^2 + (x^2 + a^2)^2 = 4\).

Раскроем выражение: \((x^2 + a^2)^2 = x^4 + 2a^2 x^2 + a^4\), тогда уравнение становится \(x^4 + 2a^2 x^2 + x^2 + a^4 = 4\), или \(x^4 + (2a^2 + 1)x^2 + a^4 — 4 = 0\). Это уравнение четвертой степени, но его можно рассматривать как квадратное относительно \(z = x^2\): \(z^2 + (2a^2 + 1)z + (a^4 — 4) = 0\).

Дискриминант этого уравнения: \(D = (2a^2 + 1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (a^4 — 4) = 4a^4 + 4a^2 + 1 — 4a^4 + 16 = 4a^2 + 17\), который всегда положителен. Значит, всегда есть два значения \(z\). Однако \(z = x^2 \geq 0\), поэтому нужно проверить, сколько из этих значений \(z\) неотрицательны.

При анализе значений \(a\) видно, что при малых \(|a|\) (например, \(a = 0\)) парабола \(y = x^2\) пересекает окружность в двух точках. С увеличением \(|a|\) парабола смещается вверх, и пересечения могут исчезнуть, если \(a^2\) достаточно велико. Точный анализ корней показывает, что при \(a^2 < 2\) есть до двух решений, а при больших \(a^2\) решений может не быть.

Итог: при небольших \(|a|\) (примерно \(|a| < \sqrt{2}\)) — до 2 решений, при больших \(|a|\) — 0 решений, точное количество зависит от значения \(a\).