ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 473 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сколько решений в зависимости от значения a имеет система уравнений:

1) \(\left\{\begin{aligned}x^2 + y^2 = a,\\|y| = 1;\end{aligned}\right.\)

2) \(\left\{\begin{aligned}x^2 + y^2 = 9,\\y = a — |x|;\end{aligned}\right.\)

3) \(\left\{\begin{aligned}x^2 + y^2 = a^2,\\xy = 4;\end{aligned}\right.\)

1) Для системы \( (x^2 + y^2 = a, |y| = 1) \):

Так как \( |y| = 1 \), то \( y = \pm 1 \), и \( x^2 = a — 1 \). Решения есть при \( a \geq 1 \).
— При \( a < 1 \): нет решений.
— При \( a = 1 \): два решения \( (0, 1) \), \( (0, -1) \).
— При \( a > 1 \): четыре решения \( (\pm \sqrt{a-1}, 1) \), \( (\pm \sqrt{a-1}, -1) \).

2) Для системы \( (x^2 + y^2 = 9, y = a — |x|) \):

Подставляя \( y = a — |x| \), получаем уравнение \( 2x^2 — 2a|x| + a^2 — 9 = 0 \). Дискриминант \( D = 4(18 — a^2) \).
— При \( |a| > 3\sqrt{2} \): нет решений.
— При \( |a| = 3\sqrt{2} \): два решения.
— При \( |a| < 3\sqrt{2} \): четыре решения.

3) Для системы \( (x^2 + y^2 = a^2, xy = 4) \):

Подставляя \( y = \frac{4}{x} \), получаем \( x^4 — a^2 x^2 + 16 = 0 \). Дискриминант \( D = a^4 — 64 \).
— При \( |a| < 2\sqrt{2} \): нет решений.
— При \( |a| = 2\sqrt{2} \): два решения.
— При \( |a| > 2\sqrt{2} \): четыре решения.

1) Рассмотрим первую систему уравнений: \( (x^2 + y^2 = a, |y| = 1) \). Наша цель — определить количество решений в зависимости от параметра \( a \). Начнем с анализа второго уравнения. Поскольку \( |y| = 1 \), то возможны два случая: \( y = 1 \) или \( y = -1 \). Подставим эти значения в первое уравнение, чтобы выразить \( x \).

При \( y = 1 \) подставляем в \( x^2 + y^2 = a \), получаем \( x^2 + 1 = a \), откуда \( x^2 = a — 1 \). Для вещественных решений необходимо, чтобы \( x^2 \geq 0 \), то есть \( a — 1 \geq 0 \), или \( a \geq 1 \). Аналогично, при \( y = -1 \) имеем \( x^2 + (-1)^2 = a \), то есть \( x^2 + 1 = a \), и снова \( x^2 = a — 1 \), с тем же условием \( a \geq 1 \).

Теперь рассмотрим возможные значения \( a \). Если \( a < 1 \), то \( a — 1 < 0 \), и \( x^2 = a — 1 < 0 \), что невозможно для вещественных чисел. Следовательно, решений нет. Если \( a = 1 \), то \( x^2 = 0 \), откуда \( x = 0 \). Таким образом, получаем два решения: \( (0, 1) \) и \( (0, -1) \). Если \( a > 1 \), то \( x^2 = a — 1 > 0 \), и \( x = \pm \sqrt{a — 1} \). Для \( y = 1 \) получаем два решения: \( (\sqrt{a — 1}, 1) \) и \( (-\sqrt{a — 1}, 1) \), а для \( y = -1 \) еще два: \( (\sqrt{a — 1}, -1) \) и \( (-\sqrt{a — 1}, -1) \), итого четыре решения.

Таким образом, для первой системы: при \( a < 1 \) — нет решений; при \( a = 1 \) — два решения; при \( a > 1 \) — четыре решения.

2) Перейдем ко второй системе уравнений: \( (x^2 + y^2 = 9, y = a — |x|) \). Подставим \( y = a — |x| \) в первое уравнение \( x^2 + y^2 = 9 \), чтобы получить уравнение только с \( x \). Имеем \( x^2 + (a — |x|)^2 = 9 \). Раскроем скобки: \( (a — |x|)^2 = a^2 — 2a|x| + |x|^2 \), так как \( |x|^2 = x^2 \), то уравнение принимает вид \( x^2 + a^2 — 2a|x| + x^2 = 9 \), или \( 2x^2 — 2a|x| + a^2 — 9 = 0 \).

Поскольку \( |x| \) зависит от знака \( x \), рассмотрим два случая. Первый случай: \( x \geq 0 \), тогда \( |x| = x \), и уравнение становится \( 2x^2 — 2a x + a^2 — 9 = 0 \). Это квадратное уравнение относительно \( x \), его дискриминант равен \( D = (-2a)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (a^2 — 9) = 4a^2 — 8a^2 + 72 = -4a^2 + 72 = 4(18 — a^2) \). Второй случай: \( x < 0 \), тогда \( |x| = -x \), и уравнение принимает вид \( 2x^2 + 2a x + a^2 — 9 = 0 \), с тем же дискриминантом \( D = (2a)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (a^2 — 9) = 4a^2 — 8a^2 + 72 = 4(18 — a^2) \).

Анализируем дискриминант \( D = 4(18 — a^2) \). Если \( 18 — a^2 < 0 \), то есть \( a^2 > 18 \), или \( |a| > 3\sqrt{2} \), то \( D < 0 \), и решений нет в обоих случаях. Если \( 18 — a^2 = 0 \), то есть \( a^2 = 18 \), или \( |a| = 3\sqrt{2} \), то \( D = 0 \), и в каждом случае по одному решению, итого два решения. Если \( 18 — a^2 > 0 \), то есть \( a^2 < 18 \), или \( |a| < 3\sqrt{2} \), то \( D > 0 \), и в каждом случае по два решения, итого четыре решения.

Таким образом, для второй системы: при \( |a| > 3\sqrt{2} \) — нет решений; при \( |a| = 3\sqrt{2} \) — два решения; при \( |a| < 3\sqrt{2} \) — четыре решения.

3) Рассмотрим третью систему уравнений: \( (x^2 + y^2 = a^2, xy = 4) \). Из второго уравнения выразим \( y = \frac{4}{x} \) (при \( x \neq 0 \)). Подставим это в первое уравнение: \( x^2 + \left(\frac{4}{x}\right)^2 = a^2 \), что равно \( x^2 + \frac{16}{x^2} = a^2 \). Умножим обе части на \( x^2 \), чтобы устранить дробь: \( x^4 + 16 = a^2 x^2 \), или \( x^4 — a^2 x^2 + 16 = 0 \).

Сделаем замену \( t = x^2 \), тогда уравнение принимает вид \( t^2 — a^2 t + 16 = 0 \). Дискриминант этого уравнения равен \( D = (a^2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 16 = a^4 — 64 \). Разложим его как \( a^4 — 64 = (a^2 — 8)(a^2 + 8) \). Поскольку \( a^2 + 8 > 0 \) всегда, знак дискриминанта определяется \( a^2 — 8 \).

Если \( a^2 — 8 < 0 \), то есть \( a^2 < 8 \), или \( |a| < 2\sqrt{2} \), то \( D < 0 \), и решений нет. Если \( a^2 — 8 = 0 \), то есть \( a^2 = 8 \), или \( |a| = 2\sqrt{2} \), то \( D = 0 \), и \( t = \frac{a^2}{2} = 4 \), откуда \( x^2 = 4 \), \( x = \pm 2 \), и \( y = \frac{4}{x} \), что дает два решения. Если \( a^2 — 8 > 0 \), то есть \( a^2 > 8 \), или \( |a| > 2\sqrt{2} \), то \( D > 0 \), и два значения \( t \), что соответствует четырем решениям для \( (x, y) \).

Таким образом, для третьей системы: при \( |a| < 2\sqrt{2} \) — нет решений; при \( |a| = 2\sqrt{2} \) — два решения; при \( |a| > 2\sqrt{2} \) — четыре решения.