ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 474 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что значение выражения \(25^{10} — 5^{17}\) кратно числу 31.

Для доказательства кратности выражения \(25^{10} — 5^{17}\) числу 31 заметим, что \(25 = 5^2\), значит \(25^{10} = 5^{20}\), и выражение преобразуется в \(5^{20} — 5^{17} = 5^{17} \cdot (5^3 — 1) = 5^{17} \cdot 124\). По модулю 31, так как \(5^3 \equiv 1 \pmod{31}\), то \(5^{17} = 5^{3 \cdot 5 + 2} = (5^3)^5 \cdot 5^2 \equiv 1^5 \cdot 25 = 25 \pmod{31}\), а \(124 \equiv 0 \pmod{31}\), поскольку \(124 = 4 \cdot 31\). Таким образом, \(5^{17} \cdot 124 \equiv 25 \cdot 0 = 0 \pmod{31}\), что и доказывает кратность 31.

1. Для доказательства того, что выражение \(25^{10} — 5^{17}\) кратно числу 31, мы будем использовать модульную арифметику. Наша цель — показать, что \(25^{10} — 5^{17} \equiv 0 \pmod{31}\), то есть остаток от деления выражения на 31 равен нулю.

2. Начнем с упрощения выражения. Заметим, что \(25 = 5^2\), следовательно, \(25^{10} = (5^2)^{10} = 5^{20}\). Таким образом, исходное выражение можно переписать как \(5^{20} — 5^{17}\).

3. Выносим общий множитель \(5^{17}\) из выражения: \(5^{20} — 5^{17} = 5^{17} \cdot (5^{3} — 1)\). Вычислим разность внутри скобок: \(5^{3} — 1 = 125 — 1 = 124\). Итак, выражение принимает вид \(5^{17} \cdot 124\).

4. Теперь нам нужно проверить, является ли это выражение кратным 31, то есть равно ли оно 0 по модулю 31. Для этого мы вычислим \(5^{17} \cdot 124 \pmod{31}\).

5. Поскольку 31 — простое число, мы можем применить малую теорему Ферма, которая гласит, что для любого числа \(a\), не кратного \(p\), выполняется \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}\). В нашем случае \(p = 31\), и для \(a = 5\) имеем \(5^{30} \equiv 1 \pmod{31}\). Однако степень 17 меньше 30, поэтому попробуем найти порядок числа 5 по модулю 31.

6. Вычислим несколько степеней числа 5 по модулю 31, чтобы найти закономерность:
— \(5^1 = 5 \equiv 5 \pmod{31}\),
— \(5^2 = 25 \equiv 25 \pmod{31}\),
— \(5^3 = 5 \cdot 25 = 125 \equiv 125 — 4 \cdot 31 = 125 — 124 = 1 \pmod{31}\).

7. Мы видим, что \(5^3 \equiv 1 \pmod{31}\). Это означает, что порядок числа 5 по модулю 31 равен 3. Теперь мы можем использовать это для упрощения степени 17. Разложим показатель степени 17 на множители с учетом порядка 3: \(17 = 3 \cdot 5 + 2\). Тогда \(5^{17} = 5^{3 \cdot 5 + 2} = (5^3)^5 \cdot 5^2 \equiv 1^5 \cdot 5^2 = 5^2 = 25 \pmod{31}\).

8. Далее вычислим множитель 124 по модулю 31. Выполним деление: \(124 \div 31 = 3 \cdot 31 = 93\), остаток \(124 — 93 = 31\), и \(31 — 31 = 0\). Таким образом, \(124 \equiv 0 \pmod{31}\), поскольку 124 делится на 31 нацело (31 \cdot 4 = 124).

9. Теперь подставим полученные значения в выражение: \(5^{17} \cdot 124 \equiv 25 \cdot 0 = 0 \pmod{31}\). Это означает, что все выражение \(25^{10} — 5^{17} \equiv 0 \pmod{31}\).

10. Таким образом, мы доказали, что выражение \(25^{10} — 5^{17}\) кратно числу 31, так как оно равно 0 по модулю 31.