ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 475 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Упростите выражение:

\(\frac{5a + 5}{a^2 — a} : \left(\frac{a + 3}{a^2 — 1} — \frac{1}{a^2 + a}\right)\).

1. Упростим выражение \((5a + 5)/(a^{2} — a) : \left( (a + 3)/(a^{2} — 1) — 1/(a^{2} + a) \right)\). Начнем с первой дроби: \(5a + 5 = 5(a + 1)\), а \(a^{2} — a = a(a — 1)\), получаем \((5(a + 1))/(a(a — 1))\).

2. В скобках преобразуем дроби: \(a^{2} — 1 = (a — 1)(a + 1)\), \(a^{2} + a = a(a + 1)\). Общий знаменатель \(a(a — 1)(a + 1)\).

Приводим: \((a(a + 3))/(a(a — 1)(a + 1)) — (a — 1)/(a(a — 1)(a + 1)) =\)
\(= (a^{2} + 3a — a + 1)/(a(a — 1)(a + 1)) = (a^{2} + 2a + 1)/(a(a — 1)(a + 1)) =\)
\(= ((a + 1)^{2})/(a(a — 1)(a + 1)) = (a + 1)/(a(a — 1))\).

3. Теперь деление: \((5(a + 1))/(a(a — 1)) : ((a + 1)/(a(a — 1))) = \)
\(=(5(a + 1))/(a(a — 1)) \cdot (a(a — 1))/(a + 1)\).
Сокращаем \((a + 1)\) и \(a(a — 1)\), получаем \(5\).

4. Ответ: \(5\). Выражение упрощается до константы путем разложения на множители и сокращения общих членов.

1. Начнем с упрощения выражения \((5a + 5)/(a^{2} — a) : \left( (a + 3)/(a^{2} — 1) — 1/(a^{2} + a) \right)\). Наша цель — шаг за шагом преобразовать это выражение в более простую форму, чтобы каждый этап был понятен. Мы будем разбирать каждую часть выражения отдельно, уделяя внимание деталям разложения на множители и работы с дробями. Этот процесс требует аккуратности, но с подробным объяснением он становится доступным даже для новичков в алгебре.

2. Рассмотрим первую дробь \((5a + 5)/(a^{2} — a)\). В числителе \(5a + 5\) можно вынести общий множитель \(5\), что дает \(5(a + 1)\). В знаменателе \(a^{2} — a\) выносим общий множитель \(a\), получаем \(a(a — 1)\). Таким образом, дробь принимает вид \((5(a + 1))/(a(a — 1))\). Этот шаг кажется простым, но он важен для дальнейших сокращений. Мы пока не трогаем остальную часть выражения, чтобы сосредоточиться на каждом этапе.

3. Теперь перейдем к выражению в скобках: \((a + 3)/(a^{2} — 1) — 1/(a^{2} + a)\). Нам нужно вычесть эти две дроби, а для этого привести их к общему знаменателю. Разложим знаменатели на множители. Первый знаменатель \(a^{2} — 1\) — это разность квадратов, которая равна \((a — 1)(a + 1)\). Второй знаменатель \(a^{2} + a\) можно представить как \(a(a + 1)\). Общий знаменатель для обеих дробей — это \(a(a — 1)(a + 1)\), то есть произведение всех уникальных множителей.

4. Приведем первую дробь \((a + 3)/((a — 1)(a + 1))\) к общему знаменателю, домножив числитель и знаменатель на \(a\). Получаем \((a(a + 3))/(a(a — 1)(a + 1))\). Вторую дробь \(1/(a(a + 1))\) домножаем на \((a — 1)\), что дает \((a — 1)/(a(a — 1)(a + 1))\). Теперь вычитаем дроби: \((a(a + 3) — (a — 1))/(a(a — 1)(a + 1))\). Раскроем скобки в числителе: \(a(a + 3) = a^{2} + 3a\), затем вычтем \((a — 1)\), получаем \(a^{2} + 3a — a + 1 = a^{2} + 2a + 1\).

5. Заметим, что числитель \(a^{2} + 2a + 1\) можно представить как \((a + 1)^{2}\). Таким образом, дробь становится \(((a + 1)^{2})/(a(a — 1)(a + 1))\). Теперь сократим один множитель \((a + 1)\) в числителе и знаменателе, что дает \((a + 1)/(a(a — 1))\). Этот шаг позволяет упростить выражение в скобках, и мы готовы двигаться дальше.

6. Теперь наше исходное выражение выглядит как деление двух дробей: \((5(a + 1))/(a(a — 1)) : ((a + 1)/(a(a — 1)))\). Напомним, что деление на дробь эквивалентно умножению на обратную дробь. Переворачиваем вторую дробь и умножаем: \((5(a + 1))/(a(a — 1)) \cdot (a(a — 1))/(a + 1)\). Это преобразование позволяет нам перейти к следующему этапу упрощения.

7. Посмотрим на числитель и знаменатель после умножения. В числителе у нас \(5(a + 1) \cdot a(a — 1)\), а в знаменателе \((a + 1) \cdot a(a — 1)\). Мы видим, что множители \((a + 1)\) и \(a(a — 1)\) присутствуют в числителе и знаменателе, значит, их можно сократить. После сокращения в числителе остается только \(5\), а знаменатель исчезает.

8. Таким образом, результат нашего упрощения равен \(5\). Это может показаться неожиданным, что такое сложное выражение сводится к константе, но это результат правильного применения алгебраических правил. Важно помнить, что сокращение возможно только при совпадении множителей, и мы должны учитывать, что деление на ноль недопустимо, хотя в данном случае ограничения не указываются в ответе.

9. Итак, мы прошли через все этапы упрощения выражения \((5a + 5)/(a^{2} — a) : \left( (a + 3)/(a^{2} — 1) — 1/(a^{2} + a) \right)\) и получили результат \(5\). Каждый шаг, от разложения на множители до сокращения, был важен для достижения правильного ответа. Мы старались объяснить каждое действие максимально подробно, чтобы процесс был ясен.

10. Если повторить эти шаги самостоятельно, можно убедиться, что с практикой такие задачи становятся проще. Главное — не торопиться и проверять каждое преобразование, чтобы избежать ошибок. Конечный результат \(5\) подтверждает, что все действия выполнены верно, и выражение действительно упрощается до константы.