ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 478 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сократите дробь:

1) \(\frac{2 + \sqrt{2}}{\sqrt{2}}\);

2) \(\frac{7\sqrt{3} — 21}{14\sqrt{3}}\);

3) \(\frac{x\sqrt{x} — y\sqrt{y}}{x — y}\).

1) Для дроби \(\frac{2 + \sqrt{2}}{\sqrt{2}}\) умножаем числитель и знаменатель на \(\sqrt{2}\), получаем \(\frac{(2 + \sqrt{2})\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2} + 2}{2} = \sqrt{2} + 1\). Ответ: \(\sqrt{2} + 1\).

2) Для дроби \(\frac{7\sqrt{3} — 21}{14\sqrt{3}}\) выносим 7 в числителе: \(\frac{7(\sqrt{3} — 3)}{7 \cdot 2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} — 3}{2\sqrt{3}}\), затем умножаем на \(\sqrt{3}\): \(\frac{(\sqrt{3} — 3)\sqrt{3}}{6} = \frac{3 — 3\sqrt{3}}{6} = \frac{1 — \sqrt{3}}{2}\). Ответ: \(\frac{1 — \sqrt{3}}{2}\).

3) Для дроби \(\frac{x\sqrt{x} — y\sqrt{y}}{x — y}\) используем разность кубов в числителе: \(x\sqrt{x} — y\sqrt{y} = (\sqrt{x})^3 — (\sqrt{y})^3 = (\sqrt{x} — \sqrt{y})(x + \sqrt{xy} + y)\), а знаменатель: \(x — y = (\sqrt{x} — \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})\). Сокращаем: \(\frac{x + \sqrt{xy} + y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}\). Ответ: \(\frac{x + \sqrt{xy} + y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}\).

1) Рассмотрим дробь \(\frac{2 + \sqrt{2}}{\sqrt{2}}\). Наша цель — избавиться от корня в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{2}\), чтобы знаменатель стал рациональным числом. Получаем: \(\frac{(2 + \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}\).

Теперь вычислим знаменатель: \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2\). Перейдем к числителю: \((2 + \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2} + 2\). Таким образом, дробь принимает вид: \(\frac{2\sqrt{2} + 2}{2}\).

Далее заметим, что в числителе можно вынести общий множитель 2: \(2\sqrt{2} + 2 = 2(\sqrt{2} + 1)\). Тогда дробь станет: \(\frac{2(\sqrt{2} + 1)}{2}\). Сократим на 2 числитель и знаменатель, получаем: \(\sqrt{2} + 1\). Это и есть упрощенное выражение. Ответ: \(\sqrt{2} + 1\).

2) Перейдем к дроби \(\frac{7\sqrt{3} — 21}{14\sqrt{3}}\). Сначала обратим внимание на числитель: \(7\sqrt{3} — 21\). Здесь можно вынести общий множитель 7, получаем: \(7(\sqrt{3} — 3)\). Знаменатель оставляем без изменений: \(14\sqrt{3}\). Таким образом, дробь принимает вид: \(\frac{7(\sqrt{3} — 3)}{14\sqrt{3}}\).

Теперь заметим, что \(14 = 7 \cdot 2\), а значит, знаменатель можно записать как \(7 \cdot 2\sqrt{3}\). Тогда дробь становится: \(\frac{7(\sqrt{3} — 3)}{7 \cdot 2\sqrt{3}}\). Сократим числитель и знаменатель на общий множитель 7, получаем: \(\frac{\sqrt{3} — 3}{2\sqrt{3}}\).

Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\). В числителе: \((\sqrt{3} — 3) \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} — 3 \cdot \sqrt{3} = 3 — 3\sqrt{3}\). В знаменателе: \(2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 3 = 6\). Итак, дробь теперь: \(\frac{3 — 3\sqrt{3}}{6}\).

Выносим общий множитель 3 из числителя: \(3 — 3\sqrt{3} = 3(1 — \sqrt{3})\). Тогда дробь принимает вид: \(\frac{3(1 — \sqrt{3})}{6}\). Сократим на 3: \(\frac{1 — \sqrt{3}}{2}\). Это и есть окончательное упрощенное выражение. Ответ: \(\frac{1 — \sqrt{3}}{2}\).

3) Рассмотрим дробь \(\frac{x\sqrt{x} — y\sqrt{y}}{x — y}\). На первый взгляд, выражение кажется сложным, но его можно упростить, если заметить, что числитель напоминает разность кубов. Перепишем числитель: \(x\sqrt{x} = x^{3/2} = (\sqrt{x})^3\), а \(y\sqrt{y} = y^{3/2} = (\sqrt{y})^3\). Таким образом, числитель: \((\sqrt{x})^3 — (\sqrt{y})^3\).

Вспомним формулу разности кубов: \(a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)\). Подставим \(a = \sqrt{x}\), \(b = \sqrt{y}\), получаем: \((\sqrt{x})^3 — (\sqrt{y})^3 = (\sqrt{x} — \sqrt{y})((\sqrt{x})^2 + \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} + (\sqrt{y})^2)=\)
\( = (\sqrt{x} — \sqrt{y})(x + \sqrt{xy} + y)\).

Теперь посмотрим на знаменатель: \(x — y\). Это разность квадратов, так как \(x = (\sqrt{x})^2\), \(y = (\sqrt{y})^2\), а значит: \(x — y = (\sqrt{x})^2 — (\sqrt{y})^2 = (\sqrt{x} — \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})\).

Подставим полученные выражения в дробь: \(\frac{(\sqrt{x} — \sqrt{y})(x + \sqrt{xy} + y)}{(\sqrt{x} — \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}\). Сократим на общий множитель \((\sqrt{x} — \sqrt{y})\), получаем: \(\frac{x + \sqrt{xy} + y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}\). Это и есть упрощенное выражение. Ответ: \(\frac{x + \sqrt{xy} + y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}\).