ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 482 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Существуют ли 100 таких натуральных чисел, что любая сумма нескольких из них не является квадратом натурального числа?

Да, существуют 100 натуральных чисел, например, \(10^1, 10^3, 10^5, \dots, 10^{199}\), таких, что любая сумма нескольких из них не является квадратом натурального числа. Объяснение: каждое из этих чисел имеет нечетное количество нулей на конце, и сумма любых нескольких таких чисел также будет иметь нечетное количество нулей, что невозможно для квадрата числа, если оно заканчивается на нули.

1. Да, существуют 100 натуральных чисел, таких, что любая сумма нескольких из них не является квадратом натурального числа. Мы можем построить такой набор чисел, используя степени числа 10 с нечетными показателями. Рассмотрим множество чисел вида \(10^k\), где \(k\) принимает значения \(1, 3, 5, \dots, 199\). Это дает нам ровно 100 чисел, так как последовательность нечетных чисел от 1 до 199 включает 100 элементов (это арифметическая прогрессия с шагом 2).

2. Теперь объясним, почему этот выбор работает. Каждое число в нашем наборе, такое как \(10^1 = 10\), \(10^3 = 1000\), \(10^5 = 100000\), и так далее до \(10^{199}\), в десятичной записи заканчивается на нечетное количество нулей. Например, \(10^1\) имеет 1 ноль, \(10^3\) имеет 3 нуля, \(10^5\) имеет 5 нулей, и так далее. Поскольку показатель степени \(k\) нечетный, количество нулей в конце каждого числа также нечетное.

3. Когда мы берем сумму любых нескольких чисел из этого набора, количество нулей на конце суммы определяется наименьшей степенью \(10\) среди выбранных чисел. Например, если мы сложим \(10^1\) и \(10^3\), то получим \(10 + 1000 = 1010\), что имеет 1 ноль на конце (по числу с наименьшей степенью, то есть \(10^1\)). Аналогично, сумма \(10^3 + 10^5 = 1000 + 100000 = 101000\) имеет 3 нуля на конце, что также нечетное количество.

4. Важное свойство квадратов натуральных чисел заключается в том, что если квадрат заканчивается на нули, то количество этих нулей должно быть четным. Это следует из того, что если число делится на \(10^m\), то его квадрат делится на \(10^{2m}\), где \(2m\) — четное число. Таким образом, квадрат числа не может заканчиваться на нечетное количество нулей, если только это не число без нулей на конце.

5. В нашем случае любая сумма чисел из выбранного набора будет заканчиваться на нечетное количество нулей, так как наименьшая степень \(10\) в сумме имеет нечетный показатель. Даже если мы возьмем только одно число, например \(10^1 = 10\), оно имеет 1 ноль, что нечетно, а если взять несколько чисел, то сумма все равно будет определяться наименьшей нечетной степенью.

6. Рассмотрим несколько примеров для наглядности. Если взять одно число, например \(10^3 = 1000\), то оно имеет 3 нуля, что нечетно, и \(1000\) не является квадратом (квадрат ближайшего числа \(31^2 = 961\), а \(32^2 = 1024\)). Если взять сумму \(10^1 + 10^5 = 10 + 100000 = 100010\), то на конце 1 ноль, что также нечетно, и это число не может быть квадратом.

7. Если взять сумму всех 100 чисел, то результат будет равен \(10^1 + 10^3 + 10^5 + \dots + 10^{199}\), что можно записать как \(10 \cdot (10^0 + 10^2 + 10^4 + \dots + 10^{198})\). Это число заканчивается на 1 ноль (из-за множителя \(10^1\)), что снова нечетно, и, следовательно, не может быть квадратом.

8. Таким образом, независимо от того, какую подгруппу чисел из нашего набора мы выберем для сложения, итоговая сумма всегда будет заканчиваться на нечетное количество нулей, что делает невозможным для этой суммы быть квадратом натурального числа, так как квадраты требуют четного количества нулей на конце (или их отсутствия).

9. Этот подход гарантирует, что наш набор из 100 чисел удовлетворяет условию задачи. Мы выбрали числа \(10^1, 10^3, 10^5, \dots, 10^{199}\), и любая их сумма не является квадратом из-за описанного свойства количества нулей.

10. В заключение, мы показали, что можно построить набор из 100 натуральных чисел, таких как указанные степени 10 с нечетными показателями, и доказали, что ни одна сумма подмножества этих чисел не будет квадратом натурального числа из-за несовместимости структуры их десятичной записи с квадратами.