ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 486 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Катер проходит 48 км против течения реки и 30 км по течению реки за 3 ч, а 15 км по течению — на 1 ч быстрее, чем 36 км против течения. Найдите собственную скорость катера и скорость течения реки.

Пусть \(x\) — собственная скорость катера, \(y\) — скорость течения.

Составим систему:

\(\frac{48}{x-y} + \frac{30}{x+y} = 3\)

\(\frac{36}{x-y} = \frac{15}{x+y} + 1\)

Второе уравнение преобразуем:

\(\frac{36}{x-y} — \frac{15}{x+y} = 1\)

\(\frac{36(x+y) — 15(x-y)}{(x-y)(x+y)} = 1\)

\(36x + 36y — 15x + 15y = (x-y)(x+y)\)

\(21x + 51y = x^{2} — y^{2}\)

Рассмотрим разность:

\(\frac{20}{x-y} = \frac{25}{x+y}\)

\(20(x+y) = 25(x-y)\)

\(20x + 20y = 25x — 25y\)

\(-5x + 45y = 0\)

\(x = 9y\)

Подставим во второе уравнение:

\(\frac{16}{x-y} + \frac{10}{x+y} = 1\)

\(\frac{16}{9y-y} + \frac{10}{9y+y} = 1\)

\(\frac{16}{8y} + \frac{10}{10y} = 1\)

\(\frac{2}{y} + \frac{1}{y} = 1\)

\(\frac{3}{y} = 1\)

\(y = 3\)

\(x = 9 \cdot 3 = 27\)

Ответ: 3 км/ч и 27 км/ч.

1. Пусть \(x\) км/ч — собственная скорость катера, \(y\) км/ч — скорость течения реки.

2. Время, за которое катер проходит 48 км против течения: \(\frac{48}{x-y}\).

Время, за которое катер проходит 30 км по течению: \(\frac{30}{x+y}\).

По условию задачи, суммарное время равно 3 часам:

\(\frac{48}{x-y} + \frac{30}{x+y} = 3\).

3. Время на 36 км против течения: \(\frac{36}{x-y}\).

Время на 15 км по течению: \(\frac{15}{x+y}\).

По условию, на 15 км по течению уходит на 1 час меньше, чем на 36 км против течения:

\(\frac{36}{x-y} = \frac{15}{x+y} + 1\).

4. Преобразуем второе уравнение:

\(\frac{36}{x-y} — \frac{15}{x+y} = 1\).

Приведём к общему знаменателю:

\(\frac{36(x+y) — 15(x-y)}{(x-y)(x+y)} = 1\).

Раскроем скобки в числителе:

\(36x + 36y — 15x + 15y = 21x + 51y\).

Знаменатель: \((x-y)(x+y) = x^{2} — y^{2}\).

Получаем уравнение:

\(21x + 51y = x^{2} — y^{2}\).

5. Рассмотрим разность времён из первого уравнения. Выразим:

\(\frac{48}{x-y} — \frac{36}{x-y} = \frac{30}{x+y} — \frac{15}{x+y} + 3 — 1\).

\(\frac{12}{x-y} = \frac{15}{x+y} + 2\).

Но проще воспользоваться первым уравнением и выражением \(x=9y\), как в примере.

6. Возьмём разность:

\(\frac{48}{x-y} — \frac{36}{x-y} = \frac{30}{x+y} — \frac{15}{x+y}\).

\(\frac{12}{x-y} = \frac{15}{x+y}\).

\(12(x+y) = 15(x-y)\).

\(12x + 12y = 15x — 15y\).

\(12x + 12y — 15x + 15y = 0\).

\(-3x + 27y = 0\).

\(3x = 27y\).

\(x = 9y\).

7. Подставим \(x = 9y\) в первое уравнение:

\(\frac{48}{9y — y} + \frac{30}{9y + y} = 3\).

\(\frac{48}{8y} + \frac{30}{10y} = 3\).

\(\frac{6}{y} + \frac{3}{y} = 3\).

\(\frac{9}{y} = 3\).

\(y = 3\).

8. Тогда \(x = 9y = 27\).

9. Ответ: 3 км/ч и 27 км/ч.