ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 496 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В двух сплавах массы меди и цинка относятся как 5 : 2 и 3 : 4. Сколько килограммов первого сплава и сколько килограммов второго надо взять, чтобы, переплавив их, получить 28 кг нового сплава с равным содержанием меди и цинка?

Пусть \(x\) кг — первого сплава, \(y\) кг — второго сплава.

Масса меди: \(\frac{5}{7}x + \frac{3}{7}y\)

Масса цинка: \(\frac{2}{7}x + \frac{4}{7}y\)

По условию меди и цинка поровну: \(\frac{5}{7}x + \frac{3}{7}y = \frac{2}{7}x + \frac{4}{7}y\)

\(\frac{5}{7}x + \frac{3}{7}y — \frac{2}{7}x — \frac{4}{7}y = 0\)

\(\frac{3}{7}x — \frac{1}{7}y = 0\)

\(3x — y = 0\)

\(y = 3x\)

\(x + y = 28\)

\(x + 3x = 28\)

\(4x = 28\)

\(x = 7\)

\(y = 21\)

7 кг и 21 кг

1. Для решения задачи введем переменные, чтобы описать массы двух сплавов, которые смешиваются для получения нового сплава. Пусть \(x\) кг — это масса первого сплава, а \(y\) кг — масса второго сплава. Согласно условию задачи, общий вес нового сплава составляет 28 кг. Это означает, что сумма масс двух сплавов должна быть равна 28 кг, то есть мы можем записать уравнение \(x + y = 28\). Это уравнение является первым в нашей системе, и оно отражает условие сохранения массы при смешивании. Мы будем использовать его позже, чтобы найти значения \(x\) и \(y\), но сначала разберем состав каждого сплава и условия для меди и цинка.

2. Теперь обратимся к составу первого сплава. В нем отношение массы меди к массе цинка составляет \(5:2\). Это означает, что на каждые 5 частей меди приходится 2 части цинка, а общая масса сплава делится на 7 частей (\(5 + 2 = 7\)). Таким образом, масса меди в первом сплаве равна \(\frac{5}{7}x\) кг, а масса цинка — \(\frac{2}{7}x\) кг. Эти дроби показывают, какую долю от общей массы \(x\) составляет каждый металл. Например, если масса первого сплава равна 7 кг, то меди будет 5 кг, а цинка — 2 кг. Этот подход позволяет нам выразить содержание металлов в зависимости от неизвестной переменной \(x\), что крайне важно для дальнейших вычислений.

3. Перейдем ко второму сплаву, где отношение массы меди к массе цинка составляет \(3:4\). Это означает, что на каждые 3 части меди приходится 4 части цинка, а общая масса сплава делится на 7 частей (\(3 + 4 = 7\)). Следовательно, масса меди во втором сплаве равна \(\frac{3}{7}y\) кг, а масса цинка — \(\frac{4}{7}y\) кг. Как и в случае с первым сплавом, эти дроби помогают нам выразить долю каждого металла в зависимости от общей массы второго сплава \(y\). Если, например, масса второго сплава равна 7 кг, то меди будет 3 кг, а цинка — 4 кг. Теперь у нас есть выражения для содержания металлов в обоих сплавах, и мы можем перейти к анализу нового сплава, полученного после их смешивания.

4. После смешивания первого и второго сплавов мы получаем новый сплав, масса которого равна 28 кг, как указано в условии. Масса меди в этом новом сплаве будет равна сумме масс меди из первого и второго сплавов, то есть \(\frac{5}{7}x + \frac{3}{7}y\) кг. Аналогично, масса цинка в новом сплаве будет равна сумме масс цинка из обоих сплавов, то есть \(\frac{2}{7}x + \frac{4}{7}y\) кг. Эти выражения основаны на принципе сохранения массы: весь металл, который был в исходных сплавах, переходит в новый сплав без потерь. Таким образом, мы можем записать выражения для общего содержания меди и цинка в зависимости от переменных \(x\) и \(y\), что позволит нам связать эти величины с условиями задачи.

5. Согласно условию задачи, в новом сплаве массы меди и цинка должны быть равны. Это означает, что сумма масс меди из обоих сплавов должна быть равна сумме масс цинка из обоих сплавов. Мы можем записать это условие в виде уравнения: \(\frac{5}{7}x + \frac{3}{7}y = \frac{2}{7}x + \frac{4}{7}y\). Это второе уравнение в нашей системе, и оно отражает равенство содержаний двух металлов в новом сплаве. Теперь у нас есть два уравнения: первое — \(x + y = 28\), а второе — уравнение равенства масс металлов. Мы можем приступить к решению этой системы уравнений, чтобы найти значения \(x\) и \(y\), которые удовлетворяют обоим условиям задачи.

6. Для упрощения второго уравнения перенесем все члены в одну сторону, чтобы привести его к стандартному виду. Вычтем из левой части правую часть: \(\frac{5}{7}x + \frac{3}{7}y — \frac{2}{7}x — \frac{4}{7}y = 0\). Это действие позволяет нам объединить подобные слагаемые и упростить выражение. Мы видим, что все члены имеют общий знаменатель 7, поэтому можем работать с числителями, не меняя знаменатель. Такой подход делает вычисления более наглядными и снижает вероятность ошибок при преобразованиях.

7. Приведем подобные слагаемые в полученном уравнении. Для \(x\)-членов: \(\frac{5}{7}x — \frac{2}{7}x = \frac{3}{7}x\). Для \(y\)-членов: \(\frac{3}{7}y — \frac{4}{7}y = -\frac{1}{7}y\). Таким образом, уравнение принимает вид \(\frac{3}{7}x — \frac{1}{7}y = 0\). Это уравнение уже проще, чем исходное, но все еще содержит дроби, которые можно устранить для дальнейшего удобства. Мы видим, что знаменатель 7 присутствует во всех членах, и это наводит на мысль о возможности умножения на 7, чтобы избавиться от дробей.

8. Чтобы убрать дроби, умножим обе части уравнения на 7. Получаем: \(7 \cdot \frac{3}{7}x — 7 \cdot \frac{1}{7}y = 7 \cdot 0\), что упрощается до \(3x — y = 0\). Из этого уравнения легко выразить одну переменную через другую: \(y = 3x\). Это соотношение показывает, что масса второго сплава в три раза больше массы первого сплава. Теперь у нас есть выражение для \(y\) через \(x\), и мы можем подставить его в первое уравнение, чтобы найти числовое значение \(x\).

9. Подставим выражение \(y = 3x\) в первое уравнение \(x + y = 28\). Получаем \(x + 3x = 28\), что эквивалентно \(4x = 28\). Решая это уравнение, делим обе части на 4: \(x = \frac{28}{4} = 7\). Таким образом, масса первого сплава равна 7 кг. Теперь, зная значение \(x\), мы можем найти значение \(y\), используя ранее полученное соотношение. Это завершает решение системы уравнений, так как у нас есть все необходимые данные для определения обеих переменных.

10. Используя соотношение \(y = 3x\), вычислим \(y = 3 \cdot 7 = 21\). Таким образом, масса второго сплава равна 21 кг. Проверим правильность решения: общая масса \(7 + 21 = 28\) кг, что соответствует условию. Также проверим содержание металлов: в первом сплаве меди \(\frac{5}{7} \cdot 7 = 5\) кг, цинка \(\frac{2}{7} \cdot 7 = 2\) кг; во втором сплаве меди \(\frac{3}{7} \cdot 21 = 9\) кг, цинка \(\frac{4}{7} \cdot 21 = 12\) кг. Общая масса меди \(5 + 9 = 14\) кг, цинка \(2 + 12 = 14\) кг, что подтверждает равенство содержаний металлов в новом сплаве. Итак, массы сплавов составляют 7 кг и 21 кг.