ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 501 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Из двух пунктов, расстояние между которыми 180 км, одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля. Первый автомобиль прибыл во второй пункт через 1 ч 36 мин после встречи, а второй автомобиль прибыл в первый пункт через 2,5 ч после встречи. Найдите скорость каждого автомобиля.

Пусть \(x\) — скорость первого, \(y\) — второго, \(t\) — время до встречи. После встречи первый едет \(1\) ч \(36\) мин \(= \frac{8}{5}\) ч, второй — \(2{,}5\) ч \(= \frac{5}{2}\) ч.

\(x t = y \cdot \frac{5}{2}\)

\(y t = x \cdot \frac{8}{5}\)

\(\frac{x}{y} = \frac{5}{4}\), значит \(x = \frac{5}{4}y\)

Общее расстояние: \(x t + y t = 180\), \(t(x+y) = 180\)

Из первого уравнения: \(t = \frac{5y}{2x}\)

Подставим в \(t(x+y) = 180\):

\(\frac{5y}{2x}(x+y) = 180\)

\(5y(x+y) = 360x\)

\(5y \cdot x + 5y^{2} = 360x\)

\(5y^{2} = 360x — 5y x\)

\(5y^{2} = 360x — 5y x\)

Подставим \(x = \frac{5}{4}y\):

\(5y^{2} = 360 \cdot \frac{5}{4}y — 5y \cdot \frac{5}{4}y\)

\(5y^{2} = 450y — \frac{25}{4}y^{2}\)

\(5y^{2} + \frac{25}{4}y^{2} = 450y\)

\(\frac{20}{4}y^{2} + \frac{25}{4}y^{2} = 450y\)

\(\frac{45}{4}y^{2} = 450y\)

\(45y^{2} = 1800y\)

\(y = 40\)

\(x = \frac{5}{4} \cdot 40 = 50\)

Ответ: 50 км/ч и 40 км/ч

1. Пусть \(x\) км/ч — скорость первого автомобиля, \(y\) км/ч — второго автомобиля. Время до встречи обозначим \(t\) ч.

2. После встречи первый автомобиль доезжает до второго пункта за \(1\) ч \(36\) мин, то есть за \(\frac{8}{5}\) ч, а второй автомобиль доезжает до первого пункта за \(2{,}5\) ч, то есть за \(\frac{5}{2}\) ч.

3. За всё время до встречи первый автомобиль прошёл \(x t\) км, а после встречи второй автомобиль проехал тот же путь за \(\frac{5}{2}\) ч, то есть \(y \cdot \frac{5}{2}\) км. Значит, \(x t = y \cdot \frac{5}{2}\).

4. Аналогично, второй автомобиль до встречи прошёл \(y t\) км, а после встречи первый автомобиль проехал этот путь за \(\frac{8}{5}\) ч, то есть \(x \cdot \frac{8}{5}\) км. Значит, \(y t = x \cdot \frac{8}{5}\).

5. Из первого уравнения выразим \(t\): \(t = \frac{5y}{2x}\).

6. Из второго уравнения выразим \(t\): \(t = \frac{8x}{5y}\).

7. Приравняем правые части: \(\frac{5y}{2x} = \frac{8x}{5y}\).

8. Перемножим крест-накрест: \(25y^{2} = 16x^{2}\).

9. Разделим обе части на \(y^{2}\): \(\frac{x^{2}}{y^{2}} = \frac{25}{16}\), значит, \(\frac{x}{y} = \frac{5}{4}\), то есть \(x = \frac{5}{4}y\).

10. До встречи оба автомобиля вместе проехали \(x t + y t = 180\) км, значит, \(t(x+y) = 180\).

11. Подставим выражение для \(t\) из пункта 5: \(t = \frac{5y}{2x}\), тогда \(\frac{5y}{2x}(x+y) = 180\).

12. Умножим обе части на \(2x\): \(5y(x+y) = 360x\).

13. Раскроем скобки: \(5x y + 5y^{2} = 360x\).

14. Подставим \(x = \frac{5}{4}y\): \(5 \cdot \frac{5}{4}y \cdot y + 5y^{2} = 360 \cdot \frac{5}{4}y\).

15. Посчитаем: \(\frac{25}{4}y^{2} + 5y^{2} = 450y\).

16. Приведём к общему знаменателю: \(\frac{25}{4}y^{2} + \frac{20}{4}y^{2} = 450y\).

17. Сложим: \(\frac{45}{4}y^{2} = 450y\).

18. Умножим обе части на 4: \(45y^{2} = 1800y\).

19. Разделим обе части на \(y\) (\(y \neq 0\)): \(45y = 1800\).

20. Найдём \(y\): \(y = 40\).

21. Найдём \(x\): \(x = \frac{5}{4} \cdot 40 = 50\).

Ответ: 50 км/ч и 40 км/ч