ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 506 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В два одинаковых бассейна одновременно начали наливать воду. В первый бассейн поступает за час на 30 м³ больше воды, чем во второй. В некоторый момент в обоих бассейнах вместе оказалось столько воды, сколько составляет объём каждого из них. После этого через 2 ч 40 мин наполнился первый бассейн, а ещё через 3 ч 20 мин — второй. Сколько воды поступало за 1 ч в каждый бассейн?

Пусть \(x\) м³/ч — наполняет первый бассейн, \(y\) м³/ч — второй, \(t\) ч — момент, когда в обоих бассейнах вместе столько воды, сколько составляет объём одного бассейна.

\(x = y + 30\)

\(t(x + y) = x\left(t + \frac{8}{3}\right)\)

\(tx + ty = tx + \frac{8}{3}x\)

\(ty = \frac{8}{3}x\)

\(y = \frac{8}{3t}x\)

Также \(t(x + y) = y(t + 6)\)

\(tx + ty = ty + 6y\)

\(tx = 6y\)

\(t = \frac{6y}{x}\)

Подставим \(t\) во вторую формулу:

\(y = \frac{8}{3 \cdot \frac{6y}{x}}x = \frac{8x^2}{18y}\)

\(8x^2 = 18y^2\)

\(4x^2 = 9y^2\)

\(2x = 3y\)

\(y = \frac{2}{3}x\)

\(x = y + 30\)

\(x = \frac{2}{3}x + 30\)

\(x — \frac{2}{3}x = 30\)

\(\frac{1}{3}x = 30\)

\(x = 90\)

\(y = 90 — 30 = 60\)

90 м³ и 60 м³

Рассмотрим задачу о наполнении двух бассейнов с разными скоростями, где требуется определить скорости наполнения каждого из них. Пусть скорость наполнения первого бассейна составляет \(x\) м³/ч, а второго — \(y\) м³/ч. По условию задачи, скорость первого бассейна превышает скорость второго на 30 м³/ч, что записывается как уравнение \(x = y + 30\). Это означает, что если, например, второй бассейн наполняется со скоростью 50 м³/ч, то первый будет делать это со скоростью 80 м³/ч. Данное соотношение является ключевым для построения системы уравнений, которая позволит нам найти конкретные значения \(x\) и \(y\). Мы будем опираться на эту связь на каждом этапе решения, чтобы выразить одну переменную через другую и упростить вычисления.

Далее введем дополнительные переменные для описания условий задачи. Пусть \(V\) — это объем каждого бассейна (предполагается, что объемы одинаковы, если не указано иное), а \(t\) — момент времени, когда суммарный объем воды в обоих бассейнах равен объему одного бассейна. Это записывается как \(t(x + y) = V\), где левая часть уравнения отражает объем воды, набранный за время \(t\) при совместной работе двух скоростей. Кроме того, нам известно, что первый бассейн наполняется полностью через 2 часа 40 минут (или \(\frac{8}{3}\) часа) после момента \(t\), что дает уравнение \((t + \frac{8}{3})x = V\). Это означает, что за общее время \(t + \frac{8}{3}\) первый бассейн набрал свой полный объем \(V\). Аналогично, второй бассейн наполняется еще через 3 часа 20 минут (или \(\frac{10}{3}\) часа) после наполнения первого, то есть через \(t + \frac{8}{3} + \frac{10}{3} = t + 6\) часов с начала процесса, что записывается как \((t + 6)y = V\). Эти уравнения связывают время, скорости и объем, позволяя нам выразить зависимости между переменными.

Теперь приступим к решению системы уравнений, чтобы найти значения \(x\) и \(y\). Начнем с того, что приравняем выражения для \(V\) из условия \(t(x + y) = V\) и \((t + \frac{8}{3})x = V\). Получаем \(t(x + y) = (t + \frac{8}{3})x\). Раскроем скобки в правой части: \(tx + \frac{8}{3}x\). В левой части у нас \(tx + ty\). При вычитании \(tx\) из обеих сторон остается \(ty = \frac{8}{3}x\), откуда можно выразить \(y\) как \(y = \frac{8}{3t}x\). Это соотношение показывает, как скорость второго бассейна зависит от скорости первого и времени \(t\). Далее, используя второе выражение для \(V\), а именно \(t(x + y) = (t + 6)y\), раскроем скобки: \(tx + ty = ty + 6y\). Вычтем \(ty\) из обеих сторон, получаем \(tx = 6y\), откуда \(t = \frac{6y}{x}\). Теперь у нас есть выражение для времени \(t\) через скорости \(x\) и \(y\). Подставим это значение \(t\) в ранее найденное выражение для \(y\): \(y = \frac{8}{3t}x = \frac{8}{3 \cdot \frac{6y}{x}}x\). Упростим дробь: \(\frac{8}{3 \cdot \frac{6y}{x}} = \frac{8x}{18y} = \frac{4x}{9y}\), следовательно, \(y = \frac{4x}{9y}\). Перемножим крест-накрест, получаем \(y^2 = \frac{4x^2}{9}\). Умножим обе стороны на 9, чтобы избавиться от знаменателя: \(9y^2 = 4x^2\). Это уравнение можно записать как \((3y)^2 = (2x)^2\), откуда следует, что \(3y = 2x\) (учитываем только положительные значения, так как скорости не могут быть отрицательными). Таким образом, \(y = \frac{2}{3}x\).

Теперь используем исходное условие \(x = y + 30\). Подставим в него выражение \(y = \frac{2}{3}x\): \(x = \frac{2}{3}x + 30\). Вычтем \(\frac{2}{3}x\) из обеих сторон: \(x — \frac{2}{3}x = 30\), что равно \(\frac{1}{3}x = 30\). Умножим обе стороны на 3, получаем \(x = 90\). Таким образом, скорость наполнения первого бассейна составляет 90 м³/ч. Далее найдем \(y\), используя \(x = y + 30\): \(y = x — 30 = 90 — 30 = 60\). Итак, скорость второго бассейна равна 60 м³/ч. Проверим, соответствуют ли эти значения условиям задачи. Если \(x = 90\) и \(y = 60\), то \(x = y + 30\) выполняется (90 = 60 + 30). Это подтверждает корректность решения на первом этапе.

Для дальнейшей проверки вычислим время \(t\) и убедимся, что все временные интервалы совпадают с условием. Из уравнения \(tx = 6y\) имеем \(t \cdot 90 = 6 \cdot 60\), откуда \(t \cdot 90 = 360\), следовательно, \(t = 4\) часа. Теперь проверим, за какое время наполнится первый бассейн: \((t + \frac{8}{3})x = V\), подставим \(t = 4\): \(4 + \frac{8}{3} = \frac{12}{3} + \frac{8}{3} = \frac{20}{3}\) часа, тогда \(V = \frac{20}{3} \cdot 90 = 600\) м³. Для второго бассейна: \((t + 6)y = V\), подставим \(t = 4\): \(4 + 6 = 10\) часов, тогда \(V = 10 \cdot 60 = 600\) м³, что совпадает с объемом, найденным для первого бассейна. Также проверим момент \(t\): \(t(x + y) = 4 \cdot (90 + 60) = 4 \cdot 150 = 600\) м³, что равно \(V\), как и требовалось. Таким образом, все условия задачи выполняются, и мы можем с уверенностью сказать, что скорости наполнения составляют 90 м³/ч для первого бассейна и 60 м³/ч для второго. Итоговый ответ: скорости наполнения бассейнов равны 90 м³/ч и 60 м³/ч соответственно.