ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 508 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Два рабочих изготовили по 60 одинаковых деталей, причём 30 деталей каждый из них сделал, работая с некоторой производительностью, которая у второго рабочего была на 20 % выше, чем у первого. Потом первый рабочий стал изготавливать больше на 2 детали в час, а второй — на 3 детали в час. Первый рабочий потратил на выполнение всего задания не менее 5 ч 30 мин, а второй — не более 4 ч 30 мин. Сколько деталей в час изготавливал второй рабочий во время выполнения первой половины задания?

Пусть \(x\) — сколько деталей в час делал первый, тогда второй делал \(y\), а \(y = 1.2x\).

Время первого: \( \frac{30}{x} + \frac{30}{x+2} \geq 5.5 \).

Время второго: \( \frac{30}{y} + \frac{30}{y+3} \leq 4.5 \).

Решаем неравенство для первого:

\( \frac{30}{x} + \frac{30}{x+2} \geq 5.5 \)

\( \frac{30(x+2) + 30x}{x(x+2)} \geq 5.5 \)

\( \frac{60x+60}{x^2+2x} \geq 5.5 \)

\( 60x+60 \geq 5.5x^2+11x \)

\( 60x+60-11x \geq 5.5x^2 \)

\( 49x+60 \geq 5.5x^2 \)

\( 5.5x^2-49x-60 \leq 0 \)

Решаем квадратное уравнение:

\( D = (-49)^2 — 4 \cdot 5.5 \cdot (-60) = 2401 + 1320 = 3721 \)

\( x_1 = \frac{49 — 61}{2 \cdot 5.5} = \frac{-12}{11} \)

\( x_2 = \frac{49 + 61}{2 \cdot 5.5} = \frac{110}{11} = 10 \)

\( x \leq 10 \)

Теперь для второго:

\( y = 1.2x \)

\( \frac{30}{y} + \frac{30}{y+3} \leq 4.5 \)

\( \frac{30(y+3) + 30y}{y(y+3)} \leq 4.5 \)

\( \frac{60y+90}{y^2+3y} \leq 4.5 \)

\( 60y+90 \leq 4.5y^2+13.5y \)

\( 60y+90-13.5y \leq 4.5y^2 \)

\( 46.5y+90 \leq 4.5y^2 \)

\( 4.5y^2-46.5y-90 \geq 0 \)

\( D = (-46.5)^2 — 4 \cdot 4.5 \cdot (-90) = 2162.25 + 1620 = 3782.25 \)

\( y_1 = \frac{46.5 — 61.5}{2 \cdot 4.5} = \frac{-15}{9} = -\frac{5}{3} \)

\( y_2 = \frac{46.5 + 61.5}{2 \cdot 4.5} = \frac{108}{9} = 12 \)

\( y \geq 12 \)

Так как \( y = 1.2x \), \( 1.2x \geq 12 \), \( x \geq 10 \).

Тогда \( x = 10 \), \( y = 12 \).

12

В данном решении задачи мы рассматриваем производительность двух рабочих, которые выполняют задание, состоящее из двух частей, с разными скоростями на каждом этапе. Задача заключается в том, чтобы определить производительность второго рабочего, учитывая условия на время выполнения задания каждым из них. Давайте разберёмся в этом процессе более детально, шаг за шагом анализируя все условия, формулы и вычисления. Мы обозначим производительность первого рабочего как \( x \), что означает количество деталей, которые он изготавливает за один час в первой половине задания. Тогда производительность второго рабочего, согласно условию, будет \( y = 1.2x \), поскольку он работает на 20% быстрее первого. Задание состоит из двух частей: изготовление 30 деталей на первой стадии с базовой скоростью и ещё 30 деталей на второй стадии с увеличенной скоростью. Для первого рабочего скорость на второй стадии увеличивается на 2 детали в час, то есть становится \( x + 2 \), а для второго рабочего — на 3 детали в час, то есть \( y + 3 \). Время, которое каждый рабочий тратит на выполнение задания, рассчитывается как сумма времени на каждую часть: для первого рабочего это \( \frac{30}{x} + \frac{30}{x+2} \), а для второго — \( \frac{30}{y} + \frac{30}{y+3} \). Эти выражения представляют собой время в часах, необходимое для выполнения каждой из частей задания, и их сумма должна соответствовать ограничениям по времени, указанным в условии задачи. Наша цель — найти такие значения \( x \) и \( y \), которые удовлетворяют всем заданным условиям.

Теперь перейдём к формулировке условий задачи в виде математических неравенств. По условию, первый рабочий затратил на выполнение задания не менее 5.5 часов, что записывается как \( \frac{30}{x} + \frac{30}{x+2} \geq 5.5 \). Чтобы решить это неравенство, приведём его к общему знаменателю, который равен \( x(x+2) \). Тогда числитель будет \( 30(x+2) + 30x = 30x + 60 + 30x = 60x + 60 \), и неравенство примет вид \( \frac{60x + 60}{x^2 + 2x} \geq 5.5 \). Умножим обе части на знаменатель (учитывая, что \( x > 0 \), знаменатель положителен), и получим \( 60x + 60 \geq 5.5(x^2 + 2x) \), что эквивалентно \( 60x + 60 \geq 5.5x^2 + 11x \). Перенесём все члены в одну сторону: \( 60x + 60 — 11x — 5.5x^2 \geq 0 \), то есть \( -5.5x^2 + 49x + 60 \geq 0 \). Умножим на \(-1\), чтобы привести к стандартному виду (при этом знак неравенства меняется): \( 5.5x^2 — 49x — 60 \leq 0 \). Теперь решим соответствующее квадратное уравнение \( 5.5x^2 — 49x — 60 = 0 \). Вычислим дискриминант: \( D = (-49)^2 — 4 \cdot 5.5 \cdot (-60) = 2401 + 1320 = 3721 \). Корни уравнения: \( x_1 = \frac{49 — \sqrt{3721}}{2 \cdot 5.5} = \frac{49 — 61}{11} = \frac{-12}{11} \approx -1.09 \), и \( x_2 = \frac{49 + 61}{11} = \frac{110}{11} = 10 \). Поскольку \( x \) представляет производительность и не может быть отрицательной, рассматриваем только положительный корень. Решение неравенства \( 5.5x^2 — 49x — 60 \leq 0 \) для положительного \( x \) будет \( 0 < x \leq 10 \). Таким образом, производительность первого рабочего должна быть не больше 10 деталей в час.

Рассмотрим условия для второго рабочего. Его производительность связана с производительностью первого рабочего соотношением \( y = 1.2x \), и время, затраченное им на задание, должно быть не более 4.5 часов, то есть \( \frac{30}{y} + \frac{30}{y+3} \leq 4.5 \). Приведём это неравенство к общему знаменателю \( y(y+3) \): числитель будет \( 30(y+3) + 30y = 30y + 90 + 30y = 60y + 90 \), и неравенство принимает вид \( \frac{60y + 90}{y^2 + 3y} \leq 4.5 \). Умножим обе части на положительный знаменатель: \( 60y + 90 \leq 4.5(y^2 + 3y) \), что эквивалентно \( 60y + 90 \leq 4.5y^2 + 13.5y \). Перенесём все члены в одну сторону: \( 60y + 90 — 13.5y — 4.5y^2 \leq 0 \), то есть \( -4.5y^2 + 46.5y + 90 \leq 0 \). Умножим на \(-1\) (знак меняется): \( 4.5y^2 — 46.5y — 90 \geq 0 \). Решим уравнение \( 4.5y^2 — 46.5y — 90 = 0 \). Дискриминант: \( D = (-46.5)^2 — 4 \cdot 4.5 \cdot (-90) = 2162.25 + 1620 = 3782.25 \). Корни: \( y_1 = \frac{46.5 — \sqrt{3782.25}}{2 \cdot 4.5} = \frac{46.5 — 61.5}{9} = \frac{-15}{9} = -\frac{5}{3} \approx -1.67 \), и \( y_2 = \frac{46.5 + 61.5}{9} = \frac{108}{9} = 12 \). Учитывая, что \( y > 0 \), решение неравенства \( 4.5y^2 — 46.5y — 90 \geq 0 \) для положительных значений будет \( y \geq 12 \). Поскольку \( y = 1.2x \), подставим это в неравенство: \( 1.2x \geq 12 \), откуда \( x \geq \frac{12}{1.2} = 10 \). Таким образом, для второго рабочего получаем ограничение на \( x \), которое гласит, что производительность первого рабочего должна быть не меньше 10 деталей в час.

Теперь объединим полученные ограничения на \( x \). Из условия для первого рабочего у нас есть \( 0 < x \leq 10 \), а из условия для второго рабочего — \( x \geq 10 \). Пересечение этих двух условий даёт единственное возможное значение: \( x = 10 \). Тогда производительность второго рабочего: \( y = 1.2 \cdot 10 = 12 \) деталей в час. Проверим, удовлетворяют ли эти значения исходным условиям задачи. Для первого рабочего время выполнения задания: \( \frac{30}{x} + \frac{30}{x+2} = \frac{30}{10} + \frac{30}{12} = 3 + 2.5 = 5.5 \) часа, что точно соответствует минимальному времени, указанному в условии (\( \geq 5.5 \)). Для второго рабочего: \( \frac{30}{y} + \frac{30}{y+3} = \frac{30}{12} + \frac{30}{15} = 2.5 + 2 = 4.5 \) часа, что также точно соответствует максимальному времени (\( \leq 4.5 \)). Таким образом, все условия задачи выполняются, и мы можем быть уверены в правильности найденного решения. Важно отметить, что значение \( x = 10 \) является единственным, так как оно лежит на границе обоих неравенств, и любое отклонение от этого значения приведёт к нарушению хотя бы одного из условий. Это подтверждает, что задача имеет строго одно решение, и мы его нашли.

В заключение, мы определили, что производительность второго рабочего составляет \( y = 12 \) деталей в час. Этот результат получен на основе анализа условий задачи, составления и решения неравенств, а также проверки полученных значений. Мы учли, что производительность не может быть отрицательной, и использовали только положительные корни квадратных уравнений. Кроме того, связь между производительностями рабочих (\( y = 1.2x \)) позволила нам свести задачу к поиску единственного значения \( x \), которое удовлетворяет всем ограничениям. Таким образом, ответ на вопрос задачи — производительность второго рабочего равна 12 деталям в час.