ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 509 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Токарю было поручено изготовить 90 деталей, а ученику — 35. Первые 30 деталей токарь делал с производительностью в два раза большей, чем ученик. Изготовляя остальные 60 деталей, он делал ещё на 2 детали в час больше и закончил свою работу не менее чем на 1 ч позже ученика. Однако если бы токарь первые 30 деталей изготавливал с такой же производительностью, что и остальные 60, то он закончил бы работу не ранее чем через 30 мин после ученика. Сколько деталей в час делал ученик?

Пусть \(x\) — производительность ученика (деталей в час), тогда токарь первые 30 деталей делал с производительностью \(2x\), а остальные 60 — с \(2x+2\).

Время работы ученика: \( \frac{35}{x} \)

Время работы токаря: \( \frac{30}{2x} + \frac{60}{2x+2} \)

По условию: \( \frac{30}{2x} + \frac{60}{2x+2} \geq \frac{35}{x} + 1 \)

Преобразуем: \( \frac{15}{x} + \frac{30}{x+1} \geq \frac{35}{x} + 1 \)

\( \frac{15}{x} + \frac{30}{x+1} — \frac{35}{x} \geq 1 \)

\( \frac{-20}{x} + \frac{30}{x+1} \geq 1 \)

\( \frac{30x — 20(x+1)}{x(x+1)} \geq 1 \)

\( \frac{30x — 20x — 20}{x(x+1)} \geq 1 \)

\( \frac{10x — 20}{x(x+1)} \geq 1 \)

\( 10x — 20 \geq x^{2} + x \)

\( x^{2} — 9x + 20 \leq 0 \)

\( D = 81 — 80 = 1 \)

\( x_{1} = \frac{9-1}{2} = 4 \), \( x_{2} = \frac{9+1}{2} = 5 \)

\( 4 \leq x \leq 5 \)

Второе условие: если бы токарь все детали делал с производительностью \(2x+2\), то

\( \frac{90}{2x+2} \geq \frac{35}{x} + 0.5 \)

\( \frac{45}{x+1} \geq \frac{35}{x} + \frac{1}{2} \)

\( \frac{45}{x+1} — \frac{35}{x} \geq \frac{1}{2} \)

\( \frac{45x — 35(x+1)}{x(x+1)} \geq \frac{1}{2} \)

\( \frac{45x — 35x — 35}{x(x+1)} \geq \frac{1}{2} \)

\( \frac{10x — 35}{x(x+1)} \geq \frac{1}{2} \)

\( 20x — 70 \geq x^{2} + x \)

\( x^{2} — 19x + 70 \leq 0 \)

\( D = 361 — 280 = 81 \)

\( x_{1} = \frac{19-9}{2} = 5 \), \( x_{2} = \frac{19+9}{2} = 14 \)

\( 5 \leq x \leq 14 \)

Совмещаем: \( 4 \leq x \leq 5 \) и \( 5 \leq x \leq 14 \)

\( x = 5 \)

Пусть \(x\) — производительность ученика, то есть количество деталей, которые он может изготовить за 1 час. Тогда производительность токаря в начале равна \(2x\), а после изготовления первых 30 деталей увеличивается на 2 и становится равной \(2x+2\). Ученик изготовил 35 деталей, а токарь — 90 деталей, при этом первые 30 деталей токарь делал с производительностью \(2x\), а оставшиеся 60 — с производительностью \(2x+2\). Время, за которое ученик изготовил 35 деталей, равно \( \frac{35}{x} \). Время, за которое токарь изготовил первые 30 деталей, равно \( \frac{30}{2x} \), а оставшиеся 60 деталей — \( \frac{60}{2x+2} \). Суммарное время работы токаря: \( \frac{30}{2x} + \frac{60}{2x+2} \).

По условию задачи токарь закончил работу не менее чем на 1 час позже ученика, то есть выполняется неравенство \( \frac{30}{2x} + \frac{60}{2x+2} \geq \frac{35}{x} + 1 \). Преобразуем это неравенство. Сначала упростим дроби: \( \frac{30}{2x} = \frac{15}{x} \), \( \frac{60}{2x+2} = \frac{30}{x+1} \), тогда неравенство принимает вид \( \frac{15}{x} + \frac{30}{x+1} \geq \frac{35}{x} + 1 \). Перенесём все члены в одну сторону: \( \frac{15}{x} + \frac{30}{x+1} — \frac{35}{x} \geq 1 \), то есть \( \frac{15}{x} — \frac{35}{x} + \frac{30}{x+1} \geq 1 \), а это \( \frac{-20}{x} + \frac{30}{x+1} \geq 1 \). Приведём к общему знаменателю: \( \frac{30x — 20(x+1)}{x(x+1)} \geq 1 \), то есть \( \frac{30x — 20x — 20}{x(x+1)} \geq 1 \), а это \( \frac{10x — 20}{x(x+1)} \geq 1 \). Перенесём 1 влево: \( \frac{10x — 20}{x(x+1)} — 1 \geq 0 \). Получается \( \frac{10x — 20 — x(x+1)}{x(x+1)} \geq 0 \), то есть \( \frac{10x — 20 — x^{2} — x}{x(x+1)} \geq 0 \), а значит \( \frac{-x^{2} + 9x — 20}{x(x+1)} \geq 0 \). Домножим на -1 (не забывая поменять знак неравенства): \( \frac{x^{2} — 9x + 20}{x(x+1)} \leq 0 \).

Рассмотрим квадратный трёхчлен в числителе: \(x^{2} — 9x + 20\). Найдём его корни: \(x^{2} — 9x + 20 = 0\). Дискриминант \(D = 81 — 80 = 1\), \(x_{1} = \frac{9-1}{2} = 4\), \(x_{2} = \frac{9+1}{2} = 5\). Знаменатель \(x(x+1)\) обращается в ноль при \(x=0\) и \(x=-1\), но по смыслу задачи производительность положительна, то есть \(x > 0\). Изучим знак дроби: числитель меняет знак в корнях, знаменатель положителен при \(x > 0\). Значит, неравенство выполняется на промежутке \(4 \leq x \leq 5\).

Теперь рассмотрим второе условие: если бы токарь все детали делал с производительностью \(2x+2\), то время на изготовление 90 деталей было бы \( \frac{90}{2x+2} = \frac{45}{x+1} \). По условию, в этом случае токарь закончил бы работу не менее чем на полчаса позже ученика, то есть \( \frac{45}{x+1} \geq \frac{35}{x} + 0.5 \). Переносим всё влево: \( \frac{45}{x+1} — \frac{35}{x} \geq 0.5 \). Приводим к общему знаменателю: \( \frac{45x — 35(x+1)}{x(x+1)} \geq 0.5 \), то есть \( \frac{45x — 35x — 35}{x(x+1)} \geq 0.5 \), а это \( \frac{10x — 35}{x(x+1)} \geq 0.5 \). Переносим 0.5 влево: \( \frac{10x — 35}{x(x+1)} — 0.5 \geq 0 \), то есть \( \frac{10x — 35 — 0.5x(x+1)}{x(x+1)} \geq 0 \), а это \( \frac{10x — 35 — 0.5x^{2} — 0.5x}{x(x+1)} \geq 0 \), или \( \frac{-0.5x^{2} + 9.5x — 35}{x(x+1)} \geq 0 \). Домножим на -2 (меняем знак неравенства): \( \frac{x^{2} — 19x + 70}{x(x+1)} \leq 0 \).

Рассмотрим квадратный трёхчлен \(x^{2} — 19x + 70\). Найдём его корни: \(D = 361 — 280 = 81\), \(x_{1} = \frac{19-9}{2} = 5\), \(x_{2} = \frac{19+9}{2} = 14\). Значит, неравенство выполняется на промежутке \(5 \leq x \leq 14\). Пересекаем с первым промежутком: \(4 \leq x \leq 5\) и \(5 \leq x \leq 14\), получаем единственное значение \(x = 5\).

Таким образом, производительность ученика равна \(5\) деталей в час.