ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 52 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Дано: \(b \leq 10\). Докажите, что:

1) \(56 — 9 \leq 41\);

2) \(1 — 2b \geq -21\).

Дано: \(b \leq 10\)

1) \(5b \leq 50\)
\(5b — 9 \leq 50 — 9\)
\(5b — 9 \leq 41\)
Неравенство доказано.

2) \(-2b \geq -20\)
\(1 — 2b \geq 1 — 20\)
\(1 — 2b \geq -19\)
\(-19 > -21\)
Неравенство доказано.

Дано условие \(b \leq 10\). Рассмотрим подробно каждое из неравенств и докажем их истинность, используя свойства неравенств и операции с ними.

В первом пункте рассматривается неравенство \(5b \leq 50\). Начнем с того, что умножение обеих частей неравенства \(b \leq 10\) на положительное число 5 сохраняет знак неравенства, поскольку при умножении на положительное число знак неравенства не меняется. Получаем \(5b \leq 5 \cdot 10 = 50\). Это значит, что для любого \(b\), удовлетворяющего \(b \leq 10\), верно и \(5b \leq 50\). Далее из этого неравенства вычитаем 9 из обеих частей: \(5b — 9 \leq 50 — 9\), что упрощается до \(5b — 9 \leq 41\). Таким образом, мы получили новое неравенство, которое логически следует из исходного условия. То есть, если \(b \leq 10\), то обязательно будет выполняться \(5b — 9 \leq 41\). Это и доказывает первое неравенство.

Во втором пункте рассматривается неравенство \(-2b \geq -20\). Здесь важно помнить, что при умножении или делении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. Начнем с исходного неравенства и умножим обе части на \(-\frac{1}{2}\), что является отрицательным числом. При этом знак неравенства меняется с \(\geq\) на \(\leq\). Получаем: \(b \leq 10\), что совпадает с данным условием. Это означает, что исходное неравенство \(-2b \geq -20\) эквивалентно условию \(b \leq 10\). Далее к обеим частям неравенства прибавим 1: \(1 — 2b \geq 1 — 20\), что упрощается до \(1 — 2b \geq -19\). Поскольку \(-19\) больше, чем \(-21\), неравенство \(1 — 2b \geq -21\) также выполняется, так как правая часть стала меньше, а левая часть не изменилась. Это доказывает второе неравенство.

Таким образом, оба неравенства логически следуют из исходного условия \(b \leq 10\). В первом случае мы использовали умножение на положительное число и вычитание, что сохраняет знак неравенства. Во втором случае — умножение на отрицательное число с изменением знака неравенства, а затем прибавление одного и сравнение с более строгим значением справа. Все операции основаны на фундаментальных свойствах неравенств, что гарантирует правильность доказательств.