ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 54 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Запишите неравенство, которое получим, если:

1) обе части верного неравенства \(a > 2\) умножим на \(a\);

2) обе части верного неравенства \(b < -1\) умножим на \(b\);

3) обе части верного неравенства \(m < -3\) умножим на \(-10\);

4) обе части верного неравенства \(c > -4\) умножим на \(c\).

1) \( a > 2 \), умножаем на \( a \): \( a^2 > 2a \)

2) \( b < -1 \), умножаем на \( b \) (отрицательное число), меняется знак: \( b^2 > -b \)

3) \( m < -3 \), умножаем на \(-10\) (отрицательное число), меняется знак: \(-10m > 30 \)

4) \( c > -4 \), умножаем на \( c \):

при \( c > 0 \): \( c^2 > -4c \)

при \( -4 < c < 0 \): \( c^2 < -4c \)

Рассмотрим неравенство \( a > 2 \) и произведём умножение обеих частей на \( a \). Поскольку по условию \( a > 2 \), а число 2 положительно, то \( a \) обязательно положительно и больше нуля. При умножении на положительное число знак неравенства сохраняется, то есть неравенство не меняет своего направления. Таким образом, умножая обе части на \( a \), мы получаем \( a \cdot a > 2 \cdot a \), что можно записать как \( a^2 > 2a \). Это преобразование является корректным, так как не нарушает исходное условие. Стоит отметить, что здесь важно, что \( a \) положительно, иначе при умножении на отрицательное число знак неравенства поменялся бы на противоположный.

Теперь рассмотрим неравенство \( b < -1 \). Здесь ситуация иная: \( b \) меньше отрицательного числа \(-1\), следовательно, \( b \) отрицательно и строго меньше нуля. При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. В данном случае мы умножаем обе части на \( b \), то есть на отрицательное число, что приводит к изменению знака неравенства. Получается, что \( b \cdot b > b \cdot (-1) \). Запишем это как \( b^2 > -b \). Здесь важно понимать, что \( b^2 \) — это квадрат отрицательного числа, который всегда положителен или равен нулю, а \(-b\) — это отрицание отрицательного числа, то есть положительное число. Следовательно, неравенство \( b^2 > -b \) логично и верно при условии \( b < -1 \).

Рассмотрим неравенство \( m < -3 \) и умножение обеих частей на число \(-10\). Число \(-10\) отрицательное, поэтому при умножении неравенства на него знак неравенства меняется на противоположный. Исходное неравенство \( m < -3 \) при умножении на \(-10\) преобразуется в \( -10 \cdot m > -10 \cdot (-3) \), то есть \( -10m > 30 \). Здесь важно помнить, что знак неравенства меняется именно из-за отрицательности множителя. Это классическое правило работы с неравенствами: при умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. Таким образом, преобразование корректно и учитывает все особенности знаков.

Теперь разберём неравенство \( c > -4 \) и умножение обеих частей на \( c \). В этом случае знак неравенства после умножения зависит от знака самого \( c \). Если \( c > 0 \), то умножение на положительное число сохраняет знак неравенства, и получается \( c \cdot c > c \cdot (-4) \), то есть \( c^2 > -4c \). Если же \( c \) лежит в промежутке \( -4 < c < 0 \), то \( c \) отрицательно, и умножение на отрицательное число меняет знак неравенства. Тогда \( c \cdot c < c \cdot (-4) \), то есть \( c^2 < -4c \). Важно отметить, что при \( c = 0 \) умножение на \( c \) приводит обе части к нулю, и неравенство превращается в \( 0 > 0 \), что неверно. Поэтому \( c = 0 \) исключается из рассмотрения. Таким образом, при анализе неравенства с переменным множителем нужно учитывать знак этого множителя, чтобы правильно определить направление неравенства после умножения.