ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 548 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В цистерне находилась концентрированная серная кислота, содержавшая 2 т воды. После того как эту кислоту смешали с 4 т воды, концентрация её снизилась на 15 единиц. Сколько тонн кислоты было в цистерне первоначально?

Пусть \( x \) — масса кислоты, тогда масса воды — 2 т.

После добавления 4 т воды масса воды стала \( 2 + 4 = 6 \) т, масса раствора \( x + 6 \) т.

Концентрация до: \( \frac{x}{x+2} \cdot 100 \)

Концентрация после: \( \frac{x}{x+6} \cdot 100 \)

По условию: \( \frac{x}{x+2} \cdot 100 — \frac{x}{x+6} \cdot 100 = 15 \)

\( \frac{x}{x+2} — \frac{x}{x+6} = \frac{3}{20} \)

\( \frac{x(x+6) — x(x+2)}{(x+2)(x+6)} = \frac{3}{20} \)

\( \frac{x(6-2)}{(x+2)(x+6)} = \frac{3}{20} \)

\( \frac{4x}{(x+2)(x+6)} = \frac{3}{20} \)

\( 4x \cdot 20 = 3(x+2)(x+6) \)

\( 80x = 3(x^{2} + 8x + 12) \)

\( 80x = 3x^{2} + 24x + 36 \)

\( 3x^{2} — 56x + 36 = 0 \)

\( x_{1,2} = \frac{56 \pm \sqrt{56^{2} — 4 \cdot 3 \cdot 36}}{6} \)

\( x_{1,2} = \frac{56 \pm \sqrt{2704}}{6} \)

\( x_{1,2} = \frac{56 \pm 52}{6} \)

\( x_{1} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)

\( x_{2} = \frac{108}{6} = 18 \)

\( x_{1} + 2 = \frac{2}{3} + 2 = \frac{8}{3} \)

\( x_{2} + 2 = 18 + 2 = 20 \)

Ответ: \( \frac{2}{3} \) т и 20 т.

1. Пусть масса кислоты равна \( x \) т, а масса воды — 2 т. Тогда масса раствора до добавления воды равна \( x + 2 \) т.

2. После добавления 4 т воды масса воды станет \( 2 + 4 = 6 \) т, а масса раствора — \( x + 6 \) т.

3. Концентрация кислоты до добавления воды равна \( \frac{x}{x+2} \cdot 100 \).

4. Концентрация кислоты после добавления воды равна \( \frac{x}{x+6} \cdot 100 \).

5. По условию задачи концентрация уменьшилась на 15 единиц:
\( \frac{x}{x+2} \cdot 100 — \frac{x}{x+6} \cdot 100 = 15 \).

6. Разделим обе части уравнения на 100:
\( \frac{x}{x+2} — \frac{x}{x+6} = \frac{15}{100} = \frac{3}{20} \).

7. Приведём к общему знаменателю:
\( \frac{x(x+6) — x(x+2)}{(x+2)(x+6)} = \frac{3}{20} \).

8. Раскроем скобки в числителе:
\( x(x+6) — x(x+2) = x^{2} + 6x — x^{2} — 2x = 4x \).
Получаем:
\( \frac{4x}{(x+2)(x+6)} = \frac{3}{20} \).

9. Перемножим крест-накрест:
\( 4x \cdot 20 = 3(x+2)(x+6) \).
\( 80x = 3(x^{2} + 8x + 12) \).

10. Раскроем скобки и перенесём всё в одну сторону:
\( 80x = 3x^{2} + 24x + 36 \)
\( 80x — 24x — 36 = 3x^{2} \)
\( 56x — 36 = 3x^{2} \)
\( 3x^{2} — 56x + 36 = 0 \).

11. Решим квадратное уравнение:
\( x_{1,2} = \frac{56 \pm \sqrt{56^{2} — 4 \cdot 3 \cdot 36}}{6} \)
\( x_{1,2} = \frac{56 \pm \sqrt{3136 — 432}}{6} \)
\( x_{1,2} = \frac{56 \pm \sqrt{2704}}{6} \)
\( x_{1,2} = \frac{56 \pm 52}{6} \).

12. Найдём корни:
\( x_{1} = \frac{56 — 52}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)
\( x_{2} = \frac{56 + 52}{6} = \frac{108}{6} = 18 \).

13. Проверим, подходят ли корни:
Если \( x = \frac{2}{3} \), то масса раствора до добавления воды \( \frac{2}{3} + 2 = \frac{8}{3} \) т.
Если \( x = 18 \), то масса раствора до добавления воды \( 18 + 2 = 20 \) т.

14. Ответ:
\( \frac{2}{3} \) т и 20 т.