ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 551 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Известно, что -3 ≤ a ≤ 2, -1 ≤ b ≤ 3. Оцените значение выражения: 1) 8a + 4b; 2) 4a — 3b. Сколько целых значений принимает каждое из этих выражений?

Для \(8a + 4b\):

\(a\) принимает значения от \(-3\) до \(2\), \(b\) от \(-1\) до \(3\).

\(8a + 4b\) принимает минимальное значение при \(a = -3, b = -1: 8 \cdot (-3) + 4 \cdot (-1) = -24 — 4 = -28\)

Максимальное при \(a = 2, b = 3: 8 \cdot 2 + 4 \cdot 3 = 16 + 12 = 28\)

Разность между соседними значениями: наименьший общий делитель коэффициентов 8 и 4 — 4, значит, шаг 4.

Количество целых значений:

\(\frac{28 — (-28)}{4} + 1 = \frac{56}{4} + 1 = 14 + 1 = 15\)

Для \(4a — 3b\):

\(a\) от \(-3\) до \(2\), \(b\) от \(-1\) до \(3\).

Минимум при \(a = -3, b = 3: 4 \cdot (-3) — 3 \cdot 3 = -12 — 9 = -21\)

Максимум при \(a = 2, b = -1: 4 \cdot 2 — 3 \cdot (-1) = 8 + 3 = 11\)

Шаг 1, так как коэффициенты взаимно просты.

Количество целых значений:

\(11 — (-21) + 1 = 11 + 21 + 1 = 33\)

1. Пусть переменная \(a\) может принимать целые значения от \(-3\) до \(2\) включительно, а переменная \(b\) — от \(-1\) до \(3\) включительно. Всего для \(a\) возможны значения: \(-3, -2, -1, 0, 1, 2\), а для \(b\): \(-1, 0, 1, 2, 3\). Рассмотрим выражение \(8a + 4b\). Чтобы найти минимальное и максимальное значения этого выражения, подставим наименьшие и наибольшие возможные значения переменных. Минимальное значение достигается при наименьших \(a\) и \(b\): \(8 \cdot (-3) + 4 \cdot (-1) = -24 — 4 = -28\). Максимальное значение — при наибольших \(a\) и \(b\): \(8 \cdot 2 + 4 \cdot 3 = 16 + 12 = 28\).

Для того чтобы понять, какие именно значения может принимать выражение \(8a + 4b\), рассмотрим шаг между соседними значениями. Заметим, что если \(a\) увеличивается на 1, то значение выражения увеличивается на 8, а если \(b\) увеличивается на 1, то выражение увеличивается на 4. Таким образом, любое значение выражения можно записать в виде \(8a + 4b = 4(2a + b)\). Значит, все значения делятся на 4. Теперь рассмотрим, какие значения может принимать выражение \(2a + b\). \(a\) меняется от \(-3\) до \(2\), а \(b\) — от \(-1\) до \(3\). Минимальное значение \(2a + b\) при \(a = -3, b = -1: 2 \cdot (-3) + (-1) = -6 — 1 = -7\). Максимальное при \(a = 2, b = 3: 2 \cdot 2 + 3 = 4 + 3 = 7\). Таким образом, \(2a + b\) может принимать все значения от \(-7\) до \(7\) включительно, так как коэффициенты при \(a\) и \(b\) взаимно просты, и диапазон \(a\) и \(b\) позволяет получить все промежуточные значения.

Итак, выражение \(8a + 4b\) принимает значения \(4 \cdot k\), где \(k\) — целое число от \(-7\) до \(7\) включительно. Это значения: \(-28, -24, -20, -16, -12, -8, -4, 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28\). Количество таких значений: \(7 — (-7) + 1 = 7 + 7 + 1 = 15\).

2. Рассмотрим выражение \(4a — 3b\), где \(a\) и \(b\) принимают те же значения, что и в первом пункте: \(a\) от \(-3\) до \(2\), \(b\) от \(-1\) до \(3\). Подставим крайние значения для поиска минимума и максимума. Минимум достигается при минимальном \(a\) и максимальном \(b\): \(4 \cdot (-3) — 3 \cdot 3 = -12 — 9 = -21\). Максимум — при максимальном \(a\) и минимальном \(b\): \(4 \cdot 2 — 3 \cdot (-1) = 8 + 3 = 11\).

Теперь определим, какие значения может принимать выражение \(4a — 3b\) при всех возможных \(a\) и \(b\). Заметим, что коэффициенты при \(a\) и \(b\) — 4 и 3 — взаимно просты, а значит, при переборе всех целых \(a\) и \(b\) в указанных диапазонах, выражение \(4a — 3b\) может принимать все целые значения между минимальным и максимальным. Проверим, возможно ли получить каждое целое значение между \(-21\) и \(11\). Для этого достаточно убедиться, что разность между соседними значениями равна 1, что и происходит при изменении \(a\) или \(b\) на 1 (например, если увеличить \(a\) на 1, выражение увеличится на 4, если уменьшить \(b\) на 1, то выражение увеличится на 3, а комбинацией этих изменений можно получить любой шаг).

Таким образом, выражение \(4a — 3b\) может принимать все целые значения от \(-21\) до \(11\) включительно. Количество таких значений вычисляется по формуле: \(11 — (-21) + 1 = 11 + 21 + 1 = 33\).

3. Для наглядности приведём таблицу возможных значений выражения \(8a + 4b\) при различных \(a\) и \(b\):

Из таблицы видно, что все значения кратны 4, а всего их 15, как и было найдено ранее. Аналогично можно построить таблицу для второго выражения, где будет видно, что значения идут подряд без пропусков от \(-21\) до \(11\), и их 33.