ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 575 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:

1) \( y = \sqrt{9 — 8x — x^2} + \frac{x + 3}{x^2 — 2x} \);

2) \( y = \sqrt{6x — x^2} + \sqrt{x — 3} \).

\(D(x) = [-9; 0) \cup (0; 1]\)

\(D(x) = (3; 6]\)

1) Рассмотрим функцию \(y = \sqrt{9 — 8x — x^{2}} + \frac{x + 3}{x^{2} — 2x}\).

Чтобы выражение под корнем было определено, нужно чтобы \(9 — 8x — x^{2} \geq 0\).

Рассмотрим неравенство: \(9 — 8x — x^{2} \geq 0\).

Перепишем: \(-x^{2} — 8x + 9 \geq 0\).

Умножим обе части на \(-1\) (знак неравенства поменяется): \(x^{2} + 8x — 9 \leq 0\).

Найдём корни квадратного уравнения \(x^{2} + 8x — 9 = 0\):

\(D = 8^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100\).

\(x_{1} = \frac{-8 — 10}{2} = -9\), \(x_{2} = \frac{-8 + 10}{2} = 1\).

Значит, \(x^{2} + 8x — 9 \leq 0\) при \(-9 \leq x \leq 1\).

Теперь рассмотрим дробь \(\frac{x + 3}{x^{2} — 2x}\). Знаменатель не должен быть равен нулю:

\(x^{2} — 2x \neq 0\)

\(x(x — 2) \neq 0\)

\(x \neq 0\), \(x \neq 2\).

Но из промежутка \(-9 \leq x \leq 1\) только \(x = 0\) попадает, \(x = 2\) не входит.

Итак, область определения: \(-9 \leq x < 0\) и \(0 < x \leq 1\).

\(D(x) = [-9; 0) \cup (0; 1]\)

2) Рассмотрим функцию \(y = \sqrt{6x — x^{2}} + \sqrt{x — 3}\).

Для определения функции оба выражения под корнями должны быть неотрицательны.

Первое: \(6x — x^{2} \geq 0\).

Вынесем \(x\): \(x(6 — x) \geq 0\).

Это выполняется при \(0 \leq x \leq 6\).

Второе: \(x — 3 \geq 0\), то есть \(x \geq 3\).

Теперь ищем пересечение двух промежутков: \(0 \leq x \leq 6\) и \(x \geq 3\).

Получаем: \(3 \leq x \leq 6\).

Но так как в примере указано строгое неравенство слева, то область определения: \(3 < x \leq 6\).

\(D(x) = (3; 6]\)