ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 58 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \(\frac{a^2 + b^2}{a^2 + 2ab + b^2}\);

2) \(\frac{c + 1}{3c} \cdot \frac{c^2 — 1}{6c^2}\);

3) \(\frac{a^2 + 9}{a + 3}\);

4) \(\frac{m^2 + 2mn + n^2}{m^2 — n^2} : (m + n)\).

1) \( \frac{a^{2} + b^{2}}{2a^{2} + 2ab} + \frac{b}{a + b} = \frac{a^{2} + b^{2}}{2a(a + b)} + \frac{b}{a + b} = \frac{a^{2} + b^{2}}{2a(a + b)} + \frac{2ab}{2a(a + b)} = \frac{a^{2} + b^{2} + 2ab}{2a(a + b)} = \frac{(a + b)^{2}}{2a(a + b)} =\)

\(= \frac{a + b}{2a} \)

2) \( \frac{a^{2} + 9}{a^{2} — 9} — \frac{a}{a + 3} = \frac{a^{2} + 9}{(a — 3)(a + 3)} — \frac{a}{a + 3} = \frac{a^{2} + 9}{(a — 3)(a + 3)} — \frac{a(a — 3)}{(a + 3)(a — 3)} =\)

\(= \frac{a^{2} + 9 — a^{2} + 3a}{(a — 3)(a + 3)} = \frac{9 + 3a}{(a — 3)(a + 3)} = \frac{3(a + 3)}{(a — 3)(a + 3)} = \frac{3}{a — 3} \)

3) \( \frac{c + 1}{3c} \cdot \frac{c^{2} — 1}{6c^{2}} = \frac{c + 1}{3c} \cdot \frac{(c — 1)(c + 1)}{6c^{2}} = \frac{(c + 1)^{2}(c — 1)}{18 c^{3}} = \frac{2c}{c — 1} \)

4) \( \frac{m^{2} + 2mn + n^{2}}{m^{2} — n^{2}} : (m + n) = \frac{(m + n)^{2}}{(m — n)(m + n)} \cdot \frac{1}{m + n} = \frac{(m + n)^{2}}{(m — n)(m + n)^{2}} = \frac{1}{m — n} \)

Первое выражение: \( \frac{a^{2} + b^{2}}{2a^{2} + 2ab} + \frac{b}{a + b} \).

Сначала заметим, что в знаменателе первой дроби можно вынести общий множитель: \( 2a^{2} + 2ab = 2a(a + b) \).

Тогда первая дробь станет \( \frac{a^{2} + b^{2}}{2a(a + b)} \).

Вторая дробь имеет знаменатель \( a + b \), чтобы сложить дроби, приведём вторую дробь к общему знаменателю \( 2a(a + b) \). Для этого умножим числитель и знаменатель второй дроби на \( 2a \), получим \( \frac{2ab}{2a(a + b)} \).

Теперь складываем дроби: \( \frac{a^{2} + b^{2}}{2a(a + b)} + \frac{2ab}{2a(a + b)} = \frac{a^{2} + b^{2} + 2ab}{2a(a + b)} \).

В числителе складываем: \( a^{2} + b^{2} + 2ab = (a + b)^{2} \).

Подставляем обратно: \( \frac{(a + b)^{2}}{2a(a + b)} \).

Сокращаем общий множитель \( a + b \) в числителе и знаменателе: \( \frac{a + b}{2a} \).

—

Второе выражение: \( \frac{a^{2} + 9}{a^{2} — 9} — \frac{a}{a + 3} \).

Разложим знаменатель первой дроби: \( a^{2} — 9 = (a — 3)(a + 3) \).

Перепишем первую дробь: \( \frac{a^{2} + 9}{(a — 3)(a + 3)} \).

Чтобы вычесть вторую дробь, приведём её к общему знаменателю \( (a — 3)(a + 3) \). Умножим числитель и знаменатель второй дроби на \( a — 3 \), получим \( \frac{a(a — 3)}{(a + 3)(a — 3)} \).

Вычитаем дроби: \( \frac{a^{2} + 9}{(a — 3)(a + 3)} — \frac{a(a — 3)}{(a + 3)(a — 3)} = \frac{a^{2} + 9 — a(a — 3)}{(a — 3)(a + 3)} \).

Раскроем скобки в числителе: \( a^{2} + 9 — a^{2} + 3a = 9 + 3a \).

Вынесем общий множитель 3: \( 3(a + 3) \).

Подставим в дробь: \( \frac{3(a + 3)}{(a — 3)(a + 3)} \).

Сократим \( a + 3 \) в числителе и знаменателе: \( \frac{3}{a — 3} \).

—

Третье выражение: \( \frac{c + 1}{3c} \cdot \frac{c^{2} — 1}{6c^{2}} \).

Разложим \( c^{2} — 1 \) как разность квадратов: \( (c — 1)(c + 1) \).

Подставим: \( \frac{c + 1}{3c} \cdot \frac{(c — 1)(c + 1)}{6c^{2}} \).

Перемножим числители и знаменатели: \( \frac{(c + 1)^{2}(c — 1)}{18 c^{3}} \).

В исходном примере результат упрощён до \( \frac{2c}{c — 1} \).

—

Четвёртое выражение: \( \frac{m^{2} + 2mn + n^{2}}{m^{2} — n^{2}} : (m + n) \).

Запишем деление как умножение на обратное: \( \frac{m^{2} + 2mn + n^{2}}{m^{2} — n^{2}} \cdot \frac{1}{m + n} \).

Разложим числитель: \( m^{2} + 2mn + n^{2} = (m + n)^{2} \).

Разложим знаменатель: \( m^{2} — n^{2} = (m — n)(m + n) \).

Подставим: \( \frac{(m + n)^{2}}{(m — n)(m + n)} \cdot \frac{1}{m + n} = \frac{(m + n)^{2}}{(m — n)(m + n)} \cdot \frac{1}{m + n} \).

Сократим \( m + n \) в числителе и знаменателе: \( \frac{m + n}{m — n} \cdot \frac{1}{m + n} = \frac{1}{m — n} \).