ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 601 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Постройте в одной системе координат графики функций \(y = \sqrt{x}\) и \(y = 2 — x\). С помощью графиков укажите значения \(x\), при которых значение функции \(y = \sqrt{x}\) больше, чем значение функции \(y = 2 — x\).

Пусть \(\sqrt{x} > 2 — x\)

Перенесём всё в одну часть: \(\sqrt{x} + x — 2 > 0\)

Пусть \(\sqrt{x} = t\), тогда \(x = t^2\):

\(t + t^2 — 2 > 0\)

\(t^2 + t — 2 > 0\)

Решим квадратное уравнение: \(t^2 + t — 2 = 0\)

Дискриминант: \(D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\)

\(t_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1\), \(t_2 = \frac{-1 — 3}{2} = -2\)

Так как \(\sqrt{x} \geq 0\), берём только \(t > 1\)

Тогда \(x > 1\)

Учитываем область определения: \(x \geq 0\)

Ответ: \(x \in (1; +\infty)\)

1. Сначала рассмотрим неравенство \(\sqrt{x} > 2 — x\). Это неравенство содержит иррациональное выражение — корень. Для того чтобы решать такие неравенства, нужно помнить, что выражение под корнем должно быть неотрицательным, иначе корень не определён. Поэтому сразу выписываем область определения: \(x \geq 0\). Также заметим, что правая часть \(2 — x\) может быть как положительной, так и отрицательной, в зависимости от значения \(x\). Нам нужно найти такие значения \(x\), при которых выражение слева больше выражения справа.

2. Перенесём все члены неравенства в одну часть, чтобы получить стандартный вид: \(\sqrt{x} + x — 2 > 0\). Это удобно, потому что теперь мы можем анализировать знак всего выражения. Далее сделаем замену переменной: пусть \(\sqrt{x} = t\). Тогда, поскольку корень не может быть отрицательным, \(t \geq 0\), а \(x = t^2\). Подставляем замену в неравенство: \(t + t^2 — 2 > 0\). Это квадратное неравенство относительно \(t\).

3. Решим квадратное неравенство \(t^2 + t — 2 > 0\). Для этого сначала найдём корни соответствующего уравнения \(t^2 + t — 2 = 0\). Используем формулу для корней квадратного уравнения: \(t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a}\), где \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = -2\). Дискриминант равен \(D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\). Тогда \(t_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1\), \(t_2 = \frac{-1 — 3}{2} = -2\). Квадратное неравенство \(t^2 + t — 2 > 0\) выполняется при \(t < -2\) или \(t > 1\), но поскольку \(t \geq 0\), остаётся только \(t > 1\). Возвращаемся к переменной \(x\): \(t = \sqrt{x}\), значит, \(\sqrt{x} > 1\), а это выполняется при \(x > 1\).

4. Теперь проверим, что найденное решение не выходит за пределы области допустимых значений переменной. Мы ранее определили, что \(x \geq 0\), а теперь получили \(x > 1\). Значит, окончательно решением будет пересечение этих двух условий, то есть \(x > 1\). Для полноты рассмотрим, что при \(x = 1\) неравенство не выполняется, так как \(\sqrt{1} = 1\), а \(2 — 1 = 1\), следовательно, \(1 > 1\) — неверно.

5. Таким образом, решением исходного неравенства будет множество всех действительных чисел, больших единицы. Запишем ответ в виде промежутка: \(x \in (1; +\infty)\).