ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 603 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что функция:

1) \(f(x) = 12 + 4x\) убывает на промежутке \((-\infty; -2]\);

2) \(f(x) = \frac{2}{x+1}\) убывает на промежутке \((-\infty; -4)\).

1) Пусть \(x_1 < x_2 \leq -2\):

\(f(x) = x^2 + 4x\)

\(f(x_2) — f(x_1) = x_2^2 + 4x_2 — x_1^2 — 4x_1\)

\(= (x_2^2 — x_1^2) + 4(x_2 — x_1)\)

\(= (x_2 — x_1)(x_2 + x_1) + 4(x_2 — x_1)\)

\(= (x_2 — x_1)(x_2 + x_1 + 4)\)

На промежутке \(x_2 + x_1 + 4 \leq 0\), значит

\((x_2 — x_1)(x_2 + x_1 + 4) < 0\)

Что и требовалось доказать.

2) Пусть \(x_1 < x_2 < -4\):

\(f(x) = \frac{2}{x+1}\)

\(f(x_2) — f(x_1) = \frac{2}{x_2 + 1} — \frac{2}{x_1 + 1}\)

\(= \frac{2(x_1 + 1) — 2(x_2 + 1)}{(x_2 + 1)(x_1 + 1)}\)

\(= \frac{2x_1 + 2 — 2x_2 — 2}{(x_2 + 1)(x_1 + 1)}\)

\(= \frac{2(x_1 — x_2)}{(x_2 + 1)(x_1 + 1)}\)

На промежутке числитель \(< 0\), знаменатель \(> 0\):

\(\frac{2(x_1 — x_2)}{(x_2 + 1)(x_1 + 1)} < 0\)

Что и требовалось доказать.

1) Пусть \(x_1 < x_2 \leq -2\). Проверим, что функция \(f(x) = x^2 + 4x\) убывает на этом промежутке. Найдём разность \(f(x_2) — f(x_1)\):

\(f(x_2) — f(x_1) = (x_2^2 + 4x_2) — (x_1^2 + 4x_1)\)

\(= (x_2^2 — x_1^2) + 4(x_2 — x_1)\)

\(= (x_2 — x_1)(x_2 + x_1) + 4(x_2 — x_1)\)

\(= (x_2 — x_1)(x_2 + x_1 + 4)\)

Так как \(x_2 > x_1\), то \(x_2 — x_1 > 0\).

Рассмотрим выражение \(x_2 + x_1 + 4\). На промежутке \(x_2 \leq -2\) и \(x_1 < x_2\), значит \(x_1 \leq x_2 — 1 \leq -3\), тогда \(x_2 + x_1 \leq -2 + (-3) = -5\), значит \(x_2 + x_1 + 4 \leq -1\), то есть \(x_2 + x_1 + 4 < 0\).

Произведение положительного и отрицательного числа даёт отрицательное число: \((x_2 — x_1)(x_2 + x_1 + 4) < 0\).

Значит, \(f(x_2) — f(x_1) < 0\), то есть функция убывает на \((-\infty; -2]\).

2) Пусть \(x_1 < x_2 < -4\). Проверим, что функция \(f(x) = \frac{2}{x+1}\) убывает на этом промежутке. Найдём разность \(f(x_2) — f(x_1)\):

\(f(x_2) — f(x_1) = \frac{2}{x_2 + 1} — \frac{2}{x_1 + 1}\)

\(= \frac{2(x_1 + 1) — 2(x_2 + 1)}{(x_2 + 1)(x_1 + 1)}\)

\(= \frac{2x_1 + 2 — 2x_2 — 2}{(x_2 + 1)(x_1 + 1)}\)

\(= \frac{2(x_1 — x_2)}{(x_2 + 1)(x_1 + 1)}\)

На промежутке \(x_1 < x_2 < -4\) числитель \(x_1 — x_2 < 0\).

Знаменатель \((x_2 + 1)(x_1 + 1)\): так как \(x_2 < -4\) и \(x_1 < x_2 < -4\), то \(x_2 + 1 < -3\) и \(x_1 + 1 < -3\), значит оба множителя отрицательны, а их произведение положительно.

Таким образом, \(\frac{2(x_1 — x_2)}{(x_2 + 1)(x_1 + 1)} < 0\).

Значит, \(f(x_2) — f(x_1) < 0\), то есть функция убывает на \((-\infty; -4)\).