ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 605 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Существуют ли такие натуральные \(x\) и \(y\), что \(x^4 — y^4 = x^3 + y^3\)?

Пусть \(x^4 — y^4 = x^3 + y^3\).

\(x^4 — y^4 = (x^2 — y^2)(x^2 + y^2) = (x — y)(x + y)(x^2 + y^2)\)

\(x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 — x y + y^2)\)

Тогда \((x — y)(x + y)(x^2 + y^2) = (x + y)(x^2 — x y + y^2)\)

Сократим на \(x + y\):

\((x — y)(x^2 + y^2) = x^2 — x y + y^2\)

Пусть \(a = x — y\), \(b = x y\):

\(a(a^2 + 2b) = a^2 + b\)

\(a^3 + 2a b = a^2 + b\)

\(a^3 — a^2 = b — 2a b\)

\(a^2(a — 1) = b(1 — 2a)\)

Но \(x > y \Rightarrow a \geq 1\), \(b > 0\), значит \(a^2(a — 1) \geq 0\), \(b(1 — 2a) < 0\)

Противоречие.

Ответ: нет.

1. Пусть \(x\) и \(y\) — натуральные числа, причём \(x > y\). Рассмотрим уравнение: \(x^4 — y^4 = x^3 + y^3\).

2. Представим левую часть: \(x^4 — y^4 = (x^2 — y^2)(x^2 + y^2) = (x — y)(x + y)(x^2 + y^2)\).

3. Представим правую часть: \(x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 — x y + y^2)\).

4. Подставим: \((x — y)(x + y)(x^2 + y^2) = (x + y)(x^2 — x y + y^2)\).

5. Так как \(x + y > 0\), разделим обе части на \(x + y\): \((x — y)(x^2 + y^2) = x^2 — x y + y^2\).

6. Раскроем скобки: \(x^3 — x^2 y + x y^2 — y^3 = x^2 — x y + y^2\).

7. Перенесём всё в одну часть: \(x^3 — x^2 y + x y^2 — y^3 — x^2 + x y — y^2 = 0\).

8. Группируем: \(x^3 — x^2 y + x y^2 — y^3 — x^2 + x y — y^2 =\)
\(= (x^3 — x^2 y + x y^2 — y^3) — (x^2 — x y + y^2)\).

9. Введём обозначения: пусть \(a = x — y\), \(b = x y\). Тогда выражение примет вид: \(a(a^2 + 2b) = a^2 + b\).

10. Перепишем: \(a^3 + 2a b = a^2 + b\), отсюда \(a^3 — a^2 + 2a b — b = 0\), то есть \(a^2(a — 1) = b(1 — 2a)\).

11. Так как \(x > y\), то \(a \geq 1\), \(b > 0\). При \(a \geq 1\) левая часть \(a^2(a — 1) \geq 0\), а правая часть \(b(1 — 2a) < 0\).

12. Получили противоречие, значит, решений нет.

Ответ: нет.