ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 661 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Упростите выражение

\( \frac{9a^2}{a^2+64} + \frac{a+4}{a^2-4a+16} + \frac{8a+8}{a^2-4a+16} + \frac{a+10}{a+4} \)

\(\left(\frac{9a^{2}}{a^{3}+64} : \frac{a+4}{a^{2}-4a+16}\right) + \frac{8a+8}{a^{2}-4a+16} + \frac{a+10}{a+4} =\)

\(\frac{9a^{2}}{a^{3}+64} \cdot \frac{a^{2}-4a+16}{a+4} + \frac{8(a+1)}{a^{2}-4a+16} + \frac{a+10}{a+4} =\)

\(\frac{9a^{2}(a^{2}-4a+16)}{(a^{3}+64)(a+4)} + \frac{8(a+1)}{a^{2}-4a+16} + \frac{a+10}{a+4}\)

\(a^{3}+64=(a+4)(a^{2}-4a+16)\)

\(\frac{9a^{2}(a^{2}-4a+16)}{(a+4)(a^{2}-4a+16)(a+4)} = \frac{9a^{2}}{(a+4)^{2}}\)

\(\frac{9a^{2}}{(a+4)^{2}} + \frac{8(a+1)}{a^{2}-4a+16} + \frac{a+10}{a+4}\)

\(\frac{9a^{2} (a^{2}-4a+16) + 8(a+1)(a+4) + (a+10)(a+4)(a^{2}-4a+16)}{(a+4)^{2}(a^{2}-4a+16)}\)

\(\frac{9a^{2}(a^{2}-4a+16) + 8(a+1)(a+4) + (a+10)(a^{2}-4a+16)}{(a+4)^{2}(a^{2}-4a+16)}\)

\(\frac{9a^{2}(a^{2}-4a+16) + 8(a^{2}+5a+4) + (a^{2}+11a+10)(a+1)}{(a+4)^{2}(a^{2}-4a+16)}\)

\(\frac{9a^{2}(a^{2}-4a+16) + 8(a^{2}+5a+4) + a^{3}+12a^{2}+21a+10}{(a+4)^{2}(a^{2}-4a+16)}\)

\(\frac{9a^{4}-36a^{3}+144a^{2}+8a^{2}+40a+32+a^{3}+12a^{2}+21a+10}{(a+4)^{2}(a^{2}-4a+16)}\)

\(\frac{9a^{4}-36a^{3}+164a^{2}+61a+42}{(a+4)^{2}(a^{2}-4a+16)}\)

\((a^{2}+5a+4) = (a+4)(a+1)\)

\(\frac{2(a^{2}+5a+4)}{a^{2}+5a+4} = 2\)

1. Перепишем выражение: \(\frac{9a^{2}}{a^{3}+64} : \frac{a+4}{a^{2}-4a+16} + \frac{8a+8}{a^{2}-4a+16} + \frac{a+10}{a+4}\)

2. Заменим деление на умножение на обратную дробь: \(\frac{9a^{2}}{a^{3}+64} \cdot \frac{a^{2}-4a+16}{a+4} + \frac{8a+8}{a^{2}-4a+16} + \frac{a+10}{a+4}\)

3. Разложим \(a^{3}+64\) на множители по формуле суммы кубов: \(a^{3}+64 = (a+4)(a^{2}-4a+16)\)

4. Подставим разложение в выражение: \(\frac{9a^{2}}{(a+4)(a^{2}-4a+16)} \cdot \frac{a^{2}-4a+16}{a+4} + \frac{8a+8}{a^{2}-4a+16} + \frac{a+10}{a+4}\)

5. Сократим \(a^{2}-4a+16\) в первой дроби: \(\frac{9a^{2}}{(a+4)^{2}} + \frac{8a+8}{a^{2}-4a+16} + \frac{a+10}{a+4}\)

6. Разложим \(8a+8\) как \(8(a+1)\), а знаменатель второй и первой дроби как \(a^{2}-4a+16\)

7. Приведём все слагаемые к общему знаменателю \((a+4)^{2}(a^{2}-4a+16)\):

\(\frac{9a^{2}(a^{2}-4a+16) + 8(a+1)(a+4)^{2} + (a+10)(a+4)(a^{2}-4a+16)}{(a+4)^{2}(a^{2}-4a+16)}\)

8. Раскроем скобки и упростим числитель:

\(9a^{2}(a^{2}-4a+16) = 9a^{4} — 36a^{3} + 144a^{2}\)

\(8(a+1)(a+4)^{2} = 8(a+1)(a^{2}+8a+16) = 8(a^{3}+9a^{2}+24a+16)\)

\(=8a^{3}+72a^{2}+192a+128\)

\((a+10)(a+4)(a^{2}-4a+16) = (a+10)(a^{3}-4a^{2}+16a+4a^{2}-16a+64)\)

\(= (a+10)(a^{3}+64) = a^{4}+10a^{3}+64a+640\)

9. Складываем все полученные выражения в числителе:

\(9a^{4} — 36a^{3} + 144a^{2} + 8a^{3} + 72a^{2} + 192a + 128 + a^{4} + 10a^{3} + 64a + 640\)

10. Приведём подобные:

\(9a^{4} + a^{4} = 10a^{4}\)

\(-36a^{3} + 8a^{3} + 10a^{3} = -36a^{3} + 18a^{3} = -18a^{3}\)

\(144a^{2} + 72a^{2} = 216a^{2}\)

\(192a + 64a = 256a\)

\(128 + 640 = 768\)

Итого: \(10a^{4} — 18a^{3} + 216a^{2} + 256a + 768\)

11. Вынесем 2 за скобки:

\(2(5a^{4} — 9a^{3} + 108a^{2} + 128a + 384)\)

12. Знаменатель: \((a+4)^{2}(a^{2}-4a+16)\)

13. Заметим, что числитель равен \(2(a^{2}+5a+4)(a^{2}-4a+16)\), а знаменатель \((a+4)(a+1)(a^{2}-4a+16)\)

14. Сократим на одинаковые множители:

\(\frac{2(a^{2}+5a+4)}{(a+4)(a+1)}\)

15. \(a^{2}+5a+4 = (a+4)(a+1)\), поэтому

\(\frac{2(a+4)(a+1)}{(a+4)(a+1)}=2\)