ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 687 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Упростите выражение
\( \left( a + 1 \right) : 3a + 1 \),
1) \( a — 1 \),
2) \( a + 1 \),
3) \( 2x^2 — 5x + 3 \),
4) \( 4x^2 — 12x + 9 \).

Упрощаем выражение \(\frac{a+1}{3a+1} \cdot \frac{a-1}{a+1}\).
Сначала замечаем, что у нас есть умножение дробей. Для этого просто перемножаем числители и знаменатели: числитель будет \((a+1) \cdot (a-1)\), а знаменатель \((3a+1) \cdot (a+1)\). Получаем: \(\frac{(a+1) \cdot (a-1)}{(3a+1) \cdot (a+1)}\).
Теперь смотрим, что можно сократить. В числителе и знаменателе есть общий множитель \(a+1\). Сокращаем его: \(\frac{a-1}{3a+1}\).
Больше сокращений нет, поэтому конечный результат: \(\frac{a-1}{3a+1}\).

Давайте разберем процесс упрощения выражения \(\frac{a + 1}{a — 1} : \frac{3a + 1}{a + 1}\) максимально подробно, чтобы каждый шаг был понятен даже тем, кто только начинает изучать дроби и их операции. Мы будем двигаться постепенно, объясняя каждое действие с примерами и разъяснениями, чтобы не осталось никаких вопросов. Сначала важно понять, что означает деление дробей, и как его можно преобразовать в более простую операцию. В математике деление одной дроби на другую эквивалентно умножению первой дроби на обратную вторую. Обратная дробь — это когда числитель и знаменатель меняются местами. Таким образом, наша задача сводится к тому, чтобы вместо деления выполнить умножение, что гораздо проще для дальнейших вычислений. Итак, запишем это преобразование: \(\frac{a + 1}{a — 1} : \frac{3a + 1}{a + 1}\) становится \(\frac{a + 1}{a — 1} \cdot \frac{a + 1}{3a + 1}\). Здесь вторая дробь \(\frac{3a + 1}{a + 1}\) перевернулась, и теперь числитель стал знаменателем, а знаменатель — числителем. Это правило работает для любых дробей, и его важно запомнить, потому что оно часто используется в алгебре.

Теперь, когда мы преобразовали деление в умножение, давайте разберем, как умножить две дроби. При умножении дробей мы умножаем числитель на числитель и знаменатель на знаменатель. В нашем случае числитель первой дроби — это \(a + 1\), а числитель второй дроби тоже \(a + 1\), значит, их произведение будет \((a + 1) \cdot (a + 1)\). Это можно записать как \((a + 1)^2\), что является квадратом бинома. Если раскрыть скобки, то получится \(a^2 + 2a + 1\), но на данном этапе мы можем оставить это в виде \((a + 1)^2\), так как это выглядит компактнее. Теперь перейдем к знаменателю: знаменатель первой дроби — это \(a — 1\), а второй — \(3a + 1\). Их произведение будет \((a — 1) \cdot (3a + 1)\). Чтобы убедиться, что мы правильно понимаем, давайте раскроем скобки: умножим \(a\) на \(3a\), это даст \(3a^2\), затем \(a\) на \(1\), это \(a\), потом \(-1\) на \(3a\), это \(-3a\), и \(-1\) на \(1\), это \(-1\). Сложим все слагаемые: \(3a^2 + a — 3a — 1 = 3a^2 — 2a — 1\). Таким образом, знаменатель можно записать как \(3a^2 — 2a — 1\), но пока оставим его в виде \((a — 1)(3a + 1)\), чтобы проверить, можно ли что-то сократить. Итак, на данном этапе наше выражение выглядит как \(\frac{(a + 1)^2}{(a — 1)(3a + 1)}\). Это уже результат умножения двух дробей, и теперь нам нужно проверить, можно ли упростить это выражение дальше.

Дальше возникает вопрос: можно ли сократить числитель и знаменатель? Сокращение возможно, если в числителе и знаменателе есть общие множители, которые можно вынести и убрать. Давайте внимательно посмотрим на числитель \((a + 1)^2\), который представляет собой квадрат бинома, и на знаменатель \((a — 1)(3a + 1)\), который является произведением двух разных биномов. В числителе у нас два одинаковых множителя \(a + 1\), а в знаменателе есть \(a — 1\) и \(3a + 1\). Сразу видно, что \(a + 1\) и \(a — 1\) — это разные выражения, потому что в одном прибавляется единица, а в другом вычитается. Также \(a + 1\) и \(3a + 1\) не совпадают, так как во втором множителе перед \(a\) стоит коэффициент 3. Таким образом, общих множителей между числителем и знаменателем нет, а значит, сократить ничего нельзя. Если бы, например, в знаменателе был еще один множитель \(a + 1\), то мы могли бы сократить один \(a + 1\) из числителя и один из знаменателя, но в нашем случае этого нет. Поэтому выражение \(\frac{(a + 1)^2}{(a — 1)(3a + 1)}\) уже является упрощенным. Важно также отметить, что упрощение не означает, что мы обязательно должны раскрывать все скобки, если это не помогает сократить выражение. В данном случае компактная форма со скобками выглядит аккуратнее и понятнее. Таким образом, наш окончательный ответ — это \(\frac{(a + 1)^2}{(a — 1)(3a + 1)}\), и дальше упрощать некуда. Это выражение полностью соответствует правилам алгебры и является правильным результатом для данной задачи.