ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 688 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сократите дробь:

1) \( \frac{3x^2 — 4x + 1}{9x^2 — 1} \).

Сокращаем дробь \( \frac{3x^{2} — 4x + 1}{9x^{2} — 1} \). Сначала разберем знаменатель: \( 9x^{2} — 1 = (3x — 1)(3x + 1) \), это разность квадратов.

Теперь числитель: \( 3x^{2} — 4x + 1 \). Подбираем числа, чтобы разложить на множители. Это \( (3x — 1)(x — 1) \), проверяем: \( 3x \cdot x = 3x^{2} \), \( 3x \cdot (-1) = -3x \), \( -1 \cdot x = -x \), \( -1 \cdot (-1) = 1 \), в сумме \( 3x^{2} — 4x + 1 \), верно.

Получаем дробь \( \frac{(3x — 1)(x — 1)}{(3x — 1)(3x + 1)} \). Сокращаем \( (3x — 1) \), остается \( \frac{x — 1}{3x + 1} \).

Для сокращения дроби \( \frac{3x^{2} — 4x + 1}{9x^{2} — 1} \) нам нужно разложить числитель и знаменатель на множители, чтобы выявить общие множители, которые можно сократить. Этот процесс требует внимательного анализа каждого выражения, чтобы правильно применить алгебраические формулы и правила разложения. Мы начнем с разбора знаменателя, так как он выглядит проще и может быть разложен с использованием известных формул. Затем перейдем к числителю, который представляет собой квадратный трехчлен, и разберем его шаг за шагом, чтобы убедиться, что разложение выполнено корректно. После этого мы объединим результаты и выполним сокращение дроби, обращая внимание на возможные ограничения на значения переменной \( x \), чтобы избежать деления на ноль.

Начнем со знаменателя \( 9x^{2} — 1 \). На первый взгляд, это выражение напоминает разность квадратов, одну из базовых формул алгебры, которая гласит, что \( a^{2} — b^{2} = (a — b)(a + b) \). Давайте определим, что здесь \( a \) и \( b \). Мы видим, что \( 9x^{2} = (3x)^{2} \), то есть \( a = 3x \), а \( 1 = 1^{2} \), следовательно, \( b = 1 \). Подставляя эти значения в формулу, получаем \( 9x^{2} — 1 = (3x)^{2} — 1^{2} = (3x — 1)(3x + 1) \). Чтобы убедиться в правильности разложения, можно раскрыть скобки обратно: \( (3x — 1)(3x + 1) = 3x \cdot 3x + 3x \cdot 1 — 1 \cdot 3x — 1 \cdot 1 = 9x^{2} + 3x — 3x — 1 =\)
\(= 9x^{2} — 1 \). Все верно, разложение выполнено корректно. Таким образом, знаменатель теперь представлен в виде произведения двух множителей \( (3x — 1) \) и \( (3x + 1) \), и это будет полезно для дальнейшего сокращения дроби.

Перейдем к числителю \( 3x^{2} — 4x + 1 \). Это квадратный трехчлен, и наша цель — разложить его на произведение двух биномов. Общий вид разложения квадратного трехчлена \( ax^{2} + bx + c \) предполагает поиск двух чисел, которые в сумме дают коэффициент \( b \), а в произведении — произведение \( a \cdot c \). В нашем случае \( a = 3 \), \( b = -4 \), \( c = 1 \), значит, нам нужно найти два числа, которые в произведении дают \( 3 \cdot 1 = 3 \), а в сумме — \( -4 \). Рассмотрим возможные пары чисел, которые умножаются в \( 3 \): это могут быть \( 1 \) и \( 3 \), либо \( -1 \) и \( -3 \). Если взять \( -1 \) и \( -3 \), то их сумма равна \( -1 + (-3) = -4 \), а произведение \( (-1) \cdot (-3) = 3 \). Отлично, эти числа подходят. Теперь мы можем переписать средний член \( -4x \) как сумму \( -3x — x \), чтобы получить выражение \( 3x^{2} — 3x — x + 1 \). Группируем члены по парам: \( (3x^{2} — 3x) + (-x + 1) \). Из первой группы выносим \( 3x \), получаем \( 3x(x — 1) \), а из второй группы выносим \( -1 \), получаем \( -1(x — 1) \). Теперь видно, что общий множитель — это \( (x — 1) \), и мы можем записать выражение как \( (3x — 1)(x — 1) \). Проверим разложение, раскрыв скобки: \( (3x — 1)(x — 1) = 3x \cdot x + 3x \cdot (-1) — 1 \cdot x — 1 \cdot (-1) = 3x^{2} — 3x — x + 1 =\)
\(= 3x^{2} — 4x + 1 \). Совпадает с исходным выражением, значит, разложение числителя выполнено правильно.

Теперь у нас есть числитель в виде \( (3x — 1)(x — 1) \) и знаменатель в виде \( (3x — 1)(3x + 1) \). Подставим их в исходную дробь, и она примет вид \( \frac{(3x — 1)(x — 1)}{(3x — 1)(3x + 1)} \). Мы сразу замечаем, что в числителе и знаменателе есть общий множитель \( (3x — 1) \). Согласно правилам сокращения дробей, мы можем сократить этот общий множитель, но при этом должны помнить, что знаменатель не должен обращаться в ноль. Это означает, что \( 3x — 1 \neq 0 \), то есть \( x \neq \frac{1}{3} \). Также нужно учитывать, что оставшаяся часть знаменателя \( 3x + 1 \neq 0 \), то есть \( x \neq -\frac{1}{3} \). Эти ограничения важны, чтобы дробь оставалась определенной. После сокращения множителя \( (3x — 1) \) наша дробь упрощается до вида \( \frac{x — 1}{3x + 1} \). Это уже упрощенное выражение, и дальнейшее сокращение невозможно, так как в числителе и знаменателе больше нет общих множителей.

Давайте подведем итог и убедимся, что мы не пропустили ни одного шага. Мы начали с дроби \( \frac{3x^{2} — 4x + 1}{9x^{2} — 1} \), затем разложили знаменатель на множители, используя формулу разности квадратов, и получили \( (3x — 1)(3x + 1) \). Далее мы разложили числитель, найдя подходящие числа для разбиения среднего члена, и получили \( (3x — 1)(x — 1) \). После этого мы заметили общий множитель \( (3x — 1) \) и сократили его, учитывая ограничения на значения \( x \). В результате у нас получилось выражение \( \frac{x — 1}{3x + 1} \). Чтобы окончательно убедиться в правильности ответа, можно подставить какое-нибудь значение \( x \), не равное \( \frac{1}{3} \) или \( -\frac{1}{3} \), в исходную и упрощенную дробь и сравнить результаты. Например, возьмем \( x = 0 \): исходная дробь дает \( \frac{3 \cdot 0^{2} — 4 \cdot 0 + 1}{9 \cdot 0^{2} — 1} = \frac{1}{-1} = -1 \), а упрощенная — \( \frac{0 — 1}{3 \cdot 0 + 1} = \frac{-1}{1} = -1 \). Значения совпадают, что подтверждает правильность нашего решения. Таким образом, мы получили упрощенное выражение дроби, выполнив все необходимые шаги с максимальной детализацией.