ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 689 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

1) \( \begin{cases} 2x — y = 13 \\ x^2 — y^2 = 23 \end{cases} \),

2) \( \begin{cases} 2x^2 — y^2 = 23 \\ 2x^2 + y^2 = 41 \end{cases} \).

1) Для системы уравнений \( (2x — y = 13) \) и \( (x^2 — y^2 = 23) \): из первого уравнения выразим \( y = 2x — 13 \), подставим во второе, получим \( x^2 — (2x — 13)^2 = 23 \), что приводит к уравнению \( 3x^2 — 52x + 192 = 0 \). Решив его, находим \( x = 12 \) и \( x = \frac{16}{3} \), а соответствующие \( y = 11 \) и \( y = -\frac{7}{3} \). Ответ: \( (12, 11) \), \( \left(\frac{16}{3}, -\frac{7}{3}\right) \).

2) Для системы уравнений \( (2x^2 — y^2 = 23) \) и \( (2x^2 + y^2 = 41) \): сложим уравнения, получим \( 4x^2 = 64 \), откуда \( x = \pm 4 \). Подставим в одно из уравнений, найдем \( y = \pm 3 \). Ответ: \( (4, 3) \), \( (4, -3) \), \( (-4, 3) \), \( (-4, -3) \).

1) Рассмотрим первую систему уравнений: \( (2x — y = 13) \) и \( (x^2 — y^2 = 23) \). Начнем с того, что выразим одну переменную через другую. Из первого уравнения легко получить \( y = 2x — 13 \). Это выражение мы подставим во второе уравнение, чтобы избавиться от одной переменной.

Теперь подставляем \( y = 2x — 13 \) во второе уравнение: \( x^2 — (2x — 13)^2 = 23 \). Раскроем скобки в выражении \( (2x — 13)^2 \), что дает \( 4x^2 — 52x + 169 \). Тогда уравнение принимает вид: \( x^2 — (4x^2 — 52x + 169) = 23 \), или \( x^2 — 4x^2 + 52x — 169 = 23 \).

Упростим это уравнение: \( -3x^2 + 52x — 169 — 23 = 0 \), что равно \( -3x^2 + 52x — 192 = 0 \). Для удобства умножим все на \(-1\): \( 3x^2 — 52x + 192 = 0 \). Теперь решим это квадратное уравнение через дискриминант: \( D = 52^2 — 4 \cdot 3 \cdot 192 = 2704 — 2304 = 400 \).

Корни уравнения находятся по формуле: \( x = \frac{52 \pm \sqrt{400}}{2 \cdot 3} = \frac{52 \pm 20}{6} \). Первый корень: \( x_1 = \frac{52 + 20}{6} = \frac{72}{6} = 12 \). Второй корень: \( x_2 = \frac{52 — 20}{6} = \frac{32}{6} = \frac{16}{3} \).

Для каждого значения \( x \) найдем \( y \), используя выражение \( y = 2x — 13 \). Для \( x_1 = 12 \): \( y_1 = 2 \cdot 12 — 13 = 24 — 13 = 11 \). Для \( x_2 = \frac{16}{3} \): \( y_2 = 2 \cdot \frac{16}{3} — 13 = \frac{32}{3} — \frac{39}{3} = -\frac{7}{3} \). Таким образом, решения первой системы: \( (12, 11) \) и \( \left(\frac{16}{3}, -\frac{7}{3}\right) \).

2) Перейдем ко второй системе уравнений: \( (2x^2 — y^2 = 23) \) и \( (2x^2 + y^2 = 41) \). Здесь можно заметить, что сложение уравнений позволит исключить переменную \( y^2 \). Сложим их: \( (2x^2 — y^2) + (2x^2 + y^2) = 23 + 41 \), что дает \( 4x^2 = 64 \).

Из этого следует, что \( x^2 = 16 \), а значит \( x = 4 \) или \( x = -4 \). Теперь подставим каждое значение \( x \) в одно из исходных уравнений, например, во второе: \( 2x^2 + y^2 = 41 \), чтобы найти \( y \).

Для \( x = 4 \): \( 2 \cdot 4^2 + y^2 = 41 \), то есть \( 2 \cdot 16 + y^2 = 41 \), или \( 32 + y^2 = 41 \), откуда \( y^2 = 9 \), а значит \( y = 3 \) или \( y = -3 \). Для \( x = -4 \): \( 2 \cdot (-4)^2 + y^2 = 41 \), что также дает \( 32 + y^2 = 41 \), и снова \( y^2 = 9 \), то есть \( y = 3 \) или \( y = -3 \).

Таким образом, решения второй системы: \( (4, 3) \), \( (4, -3) \), \( (-4, 3) \) и \( (-4, -3) \).