ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 690 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:

1) \( y = \sqrt{3x — 2x^2} \);

2) \( y = \frac{\sqrt{x + 7}}{x — 5} \).

1) Для \( y = \sqrt{3x — 2x^2} \) область определения находится из условия \( 3x — 2x^2 \geq 0 \), что эквивалентно \( x(2x — 3) \leq 0 \). Решение неравенства дает \( x \in [0; 1.5] \).

2) Для \( y = \frac{\sqrt{x + 7}}{x — 5} \) учитываем \( x + 7 \geq 0 \) и \( x — 5 \neq 0 \), то есть \( x \geq -7 \) и \( x \neq 5 \). Итог: \( x \in [-7; 5) \cup (5; +\infty) \).

1) Рассмотрим функцию \( y = \sqrt{3x — 2x^2} \). Чтобы определить область определения, нужно, чтобы выражение под корнем было неотрицательным, то есть \( 3x — 2x^2 \geq 0 \). Перепишем это неравенство в виде \( -2x^2 + 3x \geq 0 \). Умножим обе части на \(-1\), при этом знак неравенства изменится: \( 2x^2 — 3x \leq 0 \).

Теперь разложим левую часть на множители: \( x(2x — 3) \leq 0 \). Найдем корни уравнения \( x(2x — 3) = 0 \): это \( x = 0 \) и \( 2x — 3 = 0 \), то есть \( x = \frac{3}{2} = 1.5 \). Эти корни делят числовую ось на интервалы: \( (-\infty, 0) \), \( (0, 1.5) \) и \( (1.5, +\infty) \).

Проверим знак выражения \( x(2x — 3) \) в каждом интервале. Для \( x = -1 \) из первого интервала: \( (-1)(2(-1) — 3) = (-1)(-5) = 5 > 0 \), что не удовлетворяет неравенству. Для \( x = 1 \) из второго интервала: \( (1)(2(1) — 3) = (1)(-1) = -1 < 0 \), что подходит. Для \( x = 2 \) из третьего интервала: \( (2)(2(2) — 3) = (2)(1) = 2 > 0 \), что снова не подходит.

Также проверим значения в точках корней: при \( x = 0 \) имеем \( 0 \cdot (2 \cdot 0 — 3) = 0 \leq 0 \), подходит; при \( x = 1.5 \) имеем \( 1.5 \cdot (2 \cdot 1.5 — 3) = 1.5 \cdot 0 = 0 \leq 0 \), тоже подходит. Таким образом, неравенство \( x(2x — 3) \leq 0 \) выполняется на отрезке \( [0, 1.5] \). Следовательно, область определения функции \( y = \sqrt{3x — 2x^2} \) есть \( D(x) = [0; 1.5] \).

2) Рассмотрим функцию \( y = \frac{\sqrt{x + 7}}{x — 5} \). Для определения области определения нужно учесть два условия. Первое условие связано с корнем в числителе: выражение под корнем должно быть неотрицательным, то есть \( x + 7 \geq 0 \), что эквивалентно \( x \geq -7 \).

Второе условие связано со знаменателем: он не должен быть равен нулю, то есть \( x — 5 \neq 0 \), что означает \( x \neq 5 \). Таким образом, значения \( x \) должны удовлетворять условию \( x \geq -7 \), но при этом исключать точку \( x = 5 \).

Объединяя оба условия, получаем, что область определения состоит из двух интервалов: от \( x = -7 \) до \( x = 5 \), не включая \( x = 5 \), то есть \( [-7, 5) \), и от \( x = 5 \) до бесконечности, то есть \( (5, +\infty) \). Следовательно, область определения функции \( y = \frac{\sqrt{x + 7}}{x — 5} \) есть \( D(x) = [-7; 5) \cup (5; +\infty) \).