ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 691 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите неравенство \( (x^2 + 1)(x^2 — x — 2) < 0 \).

Решение неравенства \((x^2 + 1)(x^2 — x — 2) < 0\): поскольку \((x^2 + 1)\) всегда положительно, решаем \((x^2 — x — 2) < 0\). Разложим на множители: \((x^2 — x — 2) = (x + 1)(x — 2)\). Критические точки \(x = -1\) и \(x = 2\). На интервале \((-1, 2)\) произведение \((x + 1)(x — 2)\) отрицательно. Ответ: \((-1; 2)\).

1. Давайте решим неравенство \((x^2 + 1)(x^2 — x — 2) < 0\). Наша цель — найти значения \(x\), при которых произведение двух выражений будет отрицательным. Для этого мы будем анализировать знаки каждого множителя на числовой оси.

2. Сначала рассмотрим выражение \((x^2 — x — 2)\). Чтобы разложить его на множители, решим уравнение \((x^2 — x — 2 = 0)\). Вычислим дискриминант: \((D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9)\). Корни уравнения: \((x_1 = \frac{1 — \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 — 3}{2} = -1)\) и \((x_2 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = 2)\). Таким образом, \((x^2 — x — 2 = (x + 1)(x — 2))\).

3. Теперь неравенство принимает вид \((x^2 + 1)(x + 1)(x — 2) < 0)\). Обратите внимание, что \((x^2 + 1)\) всегда положительно для всех действительных значений \(x\), поскольку \((x^2 \geq 0)\), и прибавление 1 делает выражение всегда больше нуля. Поэтому знак произведения зависит только от множителей \((x + 1)\) и \((x — 2)\).

4. Найдем критические точки, где множители равны нулю: \((x + 1 = 0)\) при \((x = -1)\) и \((x — 2 = 0)\) при \((x = 2)\). Эти точки делят числовую ось на три интервала: \((-\infty, -1)\), \((-1, 2)\) и \((2, +\infty)\).

5. Определим знак каждого множителя в этих интервалах. Для \((x + 1)\): в интервале \((-\infty, -1)\) значение отрицательное (например, при \((x = -2)\), \((x + 1 = -1)\)); в интервалах \((-1, 2)\) и \((2, +\infty)\) значение положительное (например, при \((x = 0)\), \((x + 1 = 1)\)). Для \((x — 2)\): в интервалах \((-\infty, -1)\) и \((-1, 2)\) значение отрицательное (например, при \((x = 0)\), \((x — 2 = -2)\)); в интервале \((2, +\infty)\) значение положительное (например, при \((x = 3)\), \((x — 2 = 1)\)).

6. Поскольку \((x^2 + 1)\) всегда положительно, знак произведения \((x^2 + 1)(x + 1)(x — 2)\) совпадает со знаком произведения \((x + 1)(x — 2)\). В интервале \((-\infty, -1)\): \((x + 1)\) отрицательно, \((x — 2)\) отрицательно, произведение положительно. В интервале \((-1, 2)\): \((x + 1)\) положительно, \((x — 2)\) отрицательно, произведение отрицательно. В интервале \((2, +\infty)\): \((x + 1)\) положительно, \((x — 2)\) положительно, произведение положительно.

7. Нам нужно, чтобы произведение было меньше нуля, то есть отрицательным. Это выполняется только в интервале \((-1, 2)\), где произведение \((x + 1)(x — 2)\) отрицательно.

8. Проверим значения в критических точках. При \((x = -1)\): \((x^2 + 1 = 1 + 1 = 2)\), \((x + 1 = 0)\), \((x — 2 = -3)\), произведение равно 0, что не удовлетворяет строгому неравенству \((< 0)\). При \((x = 2)\): \((x^2 + 1 = 4 + 1 = 5)\), \((x + 1 = 3)\), \((x — 2 = 0)\), произведение равно 0, что также не удовлетворяет условию.

9. Таким образом, решение неравенства \((x^2 + 1)(x^2 — x — 2) < 0)\) включает все значения \(x\) из интервала \((-1, 2)\), но не включает сами точки \((x = -1)\) и \((x = 2)\), так как в этих точках выражение равно нулю.

10. Итоговое решение неравенства: \((-1; 2)\).