ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 694 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите четыре первых члена последовательности \((a_n)\), заданной формулой n-го члена:
1) \(a_n = n + 4\);
2) \(a_n = 4n — 3\);
3) \(a_n = 44 — 2n\);
4) \(a_n = 2^n\).

1) Для \(a_n = n + 4\):
\(a_1 = 1 + 4 = 5\), \(a_2 = 2 + 4 = 6\), \(a_3 = 3 + 4 = 7\), \(a_4 = 4 + 4 = 8\).

2) Для \(a_n = 4n — 3\):
\(a_1 = 4 \cdot 1 — 3 = 1\), \(a_2 = 4 \cdot 2 — 3 = 5\), \(a_3 = 4 \cdot 3 — 3 = 9\), \(a_4 = 4 \cdot 4 — 3 = 13\).

3) Для \(a_n = 44 — 2n\):
\(a_1 = 44 — 2 \cdot 1 = 42\), \(a_2 = 44 — 2 \cdot 2 = 40\), \(a_3 = 44 — 2 \cdot 3 = 38\), \(a_4 = 44 — 2 \cdot 4 = 36\).

4) Для \(a_n = 2^n\):
\(a_1 = 2^1 = 2\), \(a_2 = 2^2 = 4\), \(a_3 = 2^3 = 8\), \(a_4 = 2^4 = 16\).

1) Давайте подробно разберем последовательность, заданную формулой \(a_n = n + 4\). Эта формула описывает арифметическую последовательность, где каждый член получается путем прибавления константы 4 к номеру члена последовательности \(n\). Чтобы найти первые четыре члена, необходимо последовательно подставить значения \(n = 1, 2, 3, 4\) в выражение. Начнем с первого члена: при \(n = 1\) получаем \(a_1 = 1 + 4 = 5\). Это означает, что первый член последовательности равен 5. Далее переходим ко второму члену: при \(n = 2\) вычисляем \(a_2 = 2 + 4 = 6\), то есть второй член равен 6.

Продолжим с третьим членом последовательности. Подставляя \(n = 3\), получаем \(a_3 = 3 + 4 = 7\). Это показывает, что каждый следующий член увеличивается на единицу по сравнению с предыдущим, так как переменная \(n\) увеличивается на 1, а константа 4 остается неизменной. Наконец, для четвертого члена при \(n = 4\) имеем \(a_4 = 4 + 4 = 8\). Таким образом, мы видим закономерность: каждый член последовательности больше предыдущего на 1, что подтверждает линейный характер зависимости от \(n\).

Итак, первые четыре члена последовательности равны 5, 6, 7 и 8. Эта последовательность является возрастающей, и разность между соседними членами постоянна и равна 1. Такое свойство характерно для арифметической прогрессии с разностью 1. Мы можем заметить, что формула \(a_n = n + 4\) очень проста для вычислений, и даже без сложных математических операций можно предсказать значения следующих членов, просто прибавляя 1 к предыдущему числу.

2) Теперь перейдем к следующей последовательности, заданной формулой \(a_n = 4n — 3\). Эта формула также описывает линейную зависимость, но с коэффициентом 4 перед переменной \(n\), что указывает на более быстрый рост значений по сравнению с предыдущей последовательностью. Чтобы определить первые четыре члена, подставим значения \(n = 1, 2, 3, 4\). Начнем с \(n = 1\): \(a_1 = 4 \cdot 1 — 3 = 4 — 3 = 1\). Первый член равен 1. Затем для \(n = 2\): \(a_2 = 4 \cdot 2 — 3 = 8 — 3 = 5\), то есть второй член равен 5.

Далее вычислим третий член последовательности. При \(n = 3\) получаем \(a_3 = 4 \cdot 3 — 3 = 12 — 3 = 9\). Здесь видно, что каждый следующий член увеличивается на 4 по сравнению с предыдущим, так как коэффициент при \(n\) равен 4, и при увеличении \(n\) на 1 выражение \(4n\) увеличивается на 4, а константа \(-3\) остается неизменной. Для четвертого члена при \(n = 4\) имеем \(a_4 = 4 \cdot 4 — 3 = 16 — 3 = 13\). Таким образом, последовательность демонстрирует равномерный рост с шагом 4.

Итак, первые четыре члена последовательности: 1, 5, 9, 13. Это также арифметическая прогрессия, но с разностью 4, что делает рост значений более быстрым по сравнению с первой последовательностью. Мы можем заметить, что каждое следующее значение получается путем прибавления 4 к предыдущему, и это свойство сохраняется для всех членов. Формула \(a_n = 4n — 3\) позволяет легко вычислить любой член последовательности, просто подставляя нужное значение \(n\), что делает её удобной для анализа.

3) Рассмотрим третью последовательность с формулой \(a_n = 44 — 2n\). Эта формула описывает убывающую линейную последовательность, так как коэффициент при \(n\) отрицательный, что означает уменьшение значений с ростом \(n\). Для нахождения первых четырех членов подставим значения \(n = 1, 2, 3, 4\). Начнем с первого члена: при \(n = 1\) получаем \(a_1 = 44 — 2 \cdot 1 = 44 — 2 = 42\). Первый член равен 42. Далее для \(n = 2\): \(a_2 = 44 — 2 \cdot 2 = 44 — 4 = 40\), то есть второй член равен 40.

Теперь вычислим третий член. При \(n = 3\) имеем \(a_3 = 44 — 2 \cdot 3 = 44 — 6 = 38\). Здесь видно, что каждый следующий член уменьшается на 2 по сравнению с предыдущим, так как коэффициент при \(n\) равен \(-2\), и при увеличении \(n\) на 1 выражение \(-2n\) уменьшается на 2. Для четвертого члена при \(n = 4\) получаем \(a_4 = 44 — 2 \cdot 4 = 44 — 8 = 36\). Таким образом, последовательность убывает с постоянным шагом 2.

Итак, первые четыре члена последовательности: 42, 40, 38, 36. Это арифметическая прогрессия с отрицательной разностью \(-2\), что приводит к уменьшению значений. Мы можем заметить, что каждое следующее значение получается путем вычитания 2 из предыдущего, и это свойство сохраняется на всем протяжении последовательности. Формула \(a_n = 44 — 2n\) позволяет легко предсказать значения следующих членов, просто уменьшая предыдущее значение на 2, что делает анализ последовательности простым и понятным.

4) Наконец, разберем последовательность, заданную формулой \(a_n = 2^n\). Эта формула описывает геометрическую прогрессию, где каждый член получается путем возведения основания 2 в степень, равную номеру члена \(n\). Такие последовательности характеризуются экспоненциальным ростом, и значения увеличиваются очень быстро. Чтобы найти первые четыре члена, подставим значения \(n = 1, 2, 3, 4\). Начнем с первого члена: при \(n = 1\) получаем \(a_1 = 2^1 = 2\). Первый член равен 2. Далее для \(n = 2\): \(a_2 = 2^2 = 4\), то есть второй член равен 4.

Продолжим с третьим членом последовательности. При \(n = 3\) вычисляем \(a_3 = 2^3 = 8\). Здесь видно, что каждый следующий член увеличивается в 2 раза по сравнению с предыдущим, так как основание 2 умножается само на себя с каждым увеличением степени на 1. Для четвертого члена при \(n = 4\) имеем \(a_4 = 2^4 = 16\). Таким образом, значения растут экспоненциально: каждый член в два раза больше предыдущего, что является характерной особенностью геометрической прогрессии с основанием 2.

Итак, первые четыре члена последовательности: 2, 4, 8, 16. Это геометрическая прогрессия с множителем 2, и рост значений происходит гораздо быстрее, чем в арифметических последовательностях, рассмотренных ранее. Мы можем заметить, что каждое следующее значение получается путем умножения предыдущего на 2, и это свойство сохраняется для всех членов. Формула \(a_n = 2^n\) позволяет легко вычислить любой член, просто возведя 2 в соответствующую степень, что делает её удобной для анализа экспоненциального роста. Также стоит отметить, что такие последовательности часто встречаются в задачах, связанных с удвоением, например, в биологии или финансах.