ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 695 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите второй, седьмой и сотый члены последовательности \((b_n)\), заданной формулой n-го члена:
1) \(b_n = 10\);
2) \(b_n = 5 — 2n\);
3) \(b_n = n^2 + 2n\);
4) \(b_n = (-1)^{n+1}\).

1) Для \(b_n = 10\): \(b_2 = 10\), \(b_7 = 10\), \(b_{100} = 10\). (Формула не зависит от \(n\), значение постоянно.)

2) Для \(b_n = 5 — 2n\): \(b_2 = 5 — 2 \cdot 2 = 1\), \(b_7 = 5 — 2 \cdot 7 = -9\), \(b_{100} = 5 — 2 \cdot 100 = -195\). (Линейная зависимость, подставляем \(n\).)

3) Для \(b_n = n^2 + 2n\): \(b_2 = 2^2 + 2 \cdot 2 = 8\), \(b_7 = 7^2 + 2 \cdot 7 = 63\), \(b_{100} = 100^2 + 2 \cdot 100 = 10200\). (Квадратичная формула, вычисляем по \(n\).)

4) Для \(b_n = (-1)^{n+1}\): \(b_2 = (-1)^{2+1} = -1\), \(b_7 = (-1)^{7+1} = 1\), \(b_{100} = (-1)^{100+1} = -1\). (Знак чередуется в зависимости от четности \(n+1\).)

Для более глубокого понимания задачи разберем нахождение второго, седьмого и сотого членов последовательности \((b_n)\) для каждого из четырех заданных случаев. Мы будем последовательно подставлять значения \(n = 2\), \(n = 7\) и \(n = 100\) в каждую формулу, чтобы вычислить соответствующие члены последовательности. Давайте рассмотрим каждый случай отдельно, уделяя внимание деталям вычислений и особенностям формул. Наша цель — не просто получить числовые значения, но и объяснить, почему они получаются именно такими, исходя из математической природы каждой последовательности. Мы будем избегать поспешных выводов и разберем каждый шаг, чтобы процесс был максимально прозрачным даже для тех, кто только начинает изучать последовательности.

Начнем с первого случая, где \(b_n = 10\). Эта формула представляет собой константу, то есть значение \(b_n\) не зависит от индекса \(n\). Независимо от того, какое значение \(n\) мы подставляем, результат всегда будет равен 10. Таким образом, для \(n = 2\) получаем \(b_2 = 10\), для \(n = 7\) имеем \(b_7 = 10\), а для \(n = 100\) значение остается неизменным, то есть \(b_{100} = 10\). Это простейший случай последовательности, который можно рассматривать как горизонтальную линию на графике, где все точки имеют одинаковую координату по оси \(y\). Такое поведение характерно для последовательностей, не зависящих от переменной \(n\), и в реальных задачах может встречаться, например, при моделировании неизменяемых величин. Важно понимать, что отсутствие зависимости от \(n\) делает вычисления тривиальными, но в то же время подчеркивает важность внимательного чтения условия задачи, чтобы не упустить подобные особенности.

Во втором случае рассматривается формула \(b_n = 5 — 2n\). Это линейная последовательность, где значение \(b_n\) уменьшается с ростом \(n\), так как коэффициент при \(n\) отрицательный (\(-2\)). Для \(n = 2\) вычисляем: \(b_2 = 5 — 2 \cdot 2 = 5 — 4 = 1\). Для \(n = 7\) получаем: \(b_7 = 5 — 2 \cdot 7 = 5 — 14 = -9\). Наконец, для \(n = 100\) имеем: \(b_{100} = 5 — 2 \cdot 100 = 5 — 200 = -195\). Здесь видно, что с увеличением \(n\) значения становятся все более отрицательными, что соответствует арифметической прогрессии с разностью \(-2\). Линейные последовательности, подобные этой, часто встречаются в задачах, связанных с равномерным изменением величин, например, при описании линейного убывания температуры или других физических параметров. Важно также отметить, что вычисления требуют аккуратности при работе с большими значениями \(n\), чтобы избежать арифметических ошибок, особенно при умножении и вычитании.

Третий случай представляет формулу \(b_n = n^2 + 2n\), которая является квадратичной функцией. Это означает, что значения \(b_n\) растут значительно быстрее, чем в линейном случае, из-за наличия члена \(n^2\). Для \(n = 2\) вычисляем: \(b_2 = 2^2 + 2 \cdot 2 = 4 + 4 = 8\). Для \(n = 7\) получаем: \(b_7 = 7^2 + 2 \cdot 7 = 49 + 14 = 63\). Для \(n = 100\) результат будет большим: \(b_{100} = 100^2 + 2 \cdot 100 = 10000 + 200 = 10200\). Здесь можно заметить, что член \(n^2\) вносит основной вклад в значение \(b_n\), особенно при больших \(n\), тогда как линейный член \(2n\) становится менее значимым. Квадратичные последовательности часто встречаются в задачах, связанных с площадями, ускорением или другими явлениями, где величина изменяется пропорционально квадрату переменной. Понимание этого позволяет прогнозировать поведение последовательности на больших значениях \(n\), что может быть полезно для анализа.

Наконец, четвертый случай — это \(b_n = (-1)^{n+1}\), последовательность, которая принимает значения либо \(1\), либо \(-1\), в зависимости от четности показателя степени. Если \(n+1\) четное, то результат будет \(1\), если нечетное — \(-1\). Для \(n = 2\) имеем \(n+1 = 3\), что нечетно, поэтому \(b_2 = (-1)^3 = -1\). Для \(n = 7\) получаем \(n+1 = 8\), что четно, значит \(b_7 = (-1)^8 = 1\). Для \(n = 100\) значение \(n+1 = 101\) нечетно, следовательно, \(b_{100} = (-1)^{101} = -1\). Эта последовательность является знакочередующейся, и ее поведение полностью определяется четностью или нечетностью индекса. Такие последовательности часто используются в математике для моделирования периодических или колебательных процессов, где значения чередуются между двумя состояниями. Понимание механизма чередования помогает быстро определить значение для любого \(n\), не выполняя сложных вычислений, а просто анализируя показатель степени.

В заключение стоит отметить, что каждая из этих последовательностей имеет свои уникальные особенности, которые важно учитывать при анализе. Константа \(b_n = 10\) демонстрирует неизменность, линейная функция \(b_n = 5 — 2n\) показывает равномерное убывание, квадратичная \(b_n = n^2 + 2n\) иллюстрирует ускоренный рост, а знакочередующаяся \(b_n = (-1)^{n+1}\) подчеркивает периодичность. Разбирая каждый случай, мы не только получаем конкретные значения для \(n = 2\), \(n = 7\) и \(n = 100\), но и глубже понимаем природу последовательностей, что может быть полезно для решения более сложных задач в будущем. Такой подход к анализу помогает выстраивать логические связи между формулами и их поведением, что является важным навыком в математике.