ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 704 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Последовательность \((a_n)\) задана формулой n-го члена \(a_n = n^2 — 3n — 8\). Найдите номера членов этой последовательности, которые меньше 10.

Для нахождения номеров членов последовательности \(a_n = n^2 — 3n — 8\), которые меньше 10, решаем неравенство \(n^2 — 3n — 8 < 10\). Приводим его к виду \(n^2 — 3n — 18 < 0\). Находим корни уравнения \(n^2 — 3n — 18 = 0\): дискриминант \(D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81\), корни \(n = \frac{3 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{3 \pm 9}{2}\), то есть \(n_1 = -3\), \(n_2 = 6\). Неравенство \(n^2 — 3n — 18 < 0\) выполняется между корнями, то есть при \(-3 < n < 6\). Поскольку \(n\) — натуральное число, возможные значения \(n = 1, 2, 3, 4, 5\).

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5.

704. Последовательность \((a_n)\) задана формулой \(a_n = n^2 — 3n — 8\). Необходимо найти номера членов этой последовательности, значения которых меньше 10.

Для решения задачи составим неравенство \(a_n < 10\), то есть \(n^2 — 3n — 8 < 10\). Перенесем все члены в одну сторону, чтобы привести неравенство к стандартному виду: \(n^2 — 3n — 8 — 10 < 0\), что дает \(n^2 — 3n — 18 < 0\).

Теперь решим соответствующее уравнение \(n^2 — 3n — 18 = 0\), чтобы найти корни, которые помогут определить интервалы знака квадратичной функции. Вычислим дискриминант по формуле \(D = b^2 — 4ac\), где \(a = 1\), \(b = -3\), \(c = -18\). Получаем \(D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81\).

Корни уравнения находим по формуле \(n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Подставляем значения: \(n = \frac{-(-3) \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 9}{2}\). Таким образом, первый корень \(n_1 = \frac{3 — 9}{2} = \frac{-6}{2} = -3\), а второй корень \(n_2 = \frac{3 + 9}{2} = \frac{12}{2} = 6\).

Квадратичная функция \(n^2 — 3n — 18\) принимает отрицательные значения между корнями, так как коэффициент при \(n^2\) положительный (парабола направлена вверх). Следовательно, неравенство \(n^2 — 3n — 18 < 0\) выполняется при \(-3 < n < 6\).

Поскольку \(n\) является номером члена последовательности, оно должно быть натуральным числом (положительным целым). Поэтому выбираем значения \(n\), которые удовлетворяют условию \(-3 < n < 6\) и являются натуральными числами. Это \(n = 1, 2, 3, 4, 5\).

Для проверки вычислим значения \(a_n\) при этих \(n\). Для \(n = 1\): \(a_1 = 1^2 — 3 \cdot 1 — 8 = 1 — 3 — 8 = -10 < 10\). Для \(n = 2\): \(a_2 = 2^2 — 3 \cdot 2 — 8 = 4 — 6 — 8 = -10 < 10\). Для \(n = 3\): \(a_3 = 3^2 — 3 \cdot 3 — 8 = 9 — 9 — 8 = -8 < 10\). Для \(n = 4\): \(a_4 = 4^2 — 3 \cdot 4 — 8 = 16 — 12 — 8 = -4 < 10\). Для \(n = 5\): \(a_5 = 5^2 — 3 \cdot 5 — 8 = 25 — 15 — 8 = 2 < 10\). Все значения действительно меньше 10.

Проверим граничное значение \(n = 6\): \(a_6 = 6^2 — 3 \cdot 6 — 8 = 36 — 18 — 8 = 10\), что равно 10, а не меньше, поэтому \(n = 6\) не подходит. Значения \(n < 1\) не рассматриваются, так как номера членов последовательности начинаются с 1.

Таким образом, номера членов последовательности, значения которых меньше 10, — это 1, 2, 3, 4, 5.

Ответ: 1; 2; 3; 4; 5.