ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 705 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Последовательность \((b_n)\) задана формулой n-го члена \(b_n = -n^2 + 15n — 20\). Сколько членов этой последовательности больше, чем 16?

Для нахождения количества членов последовательности \(b_n = -n^2 + 15n — 20\), которые больше 16, решаем неравенство \(-n^2 + 15n — 20 > 16\). Приводим его к виду \(-n^2 + 15n — 36 > 0\), или, умножив на \(-1\) и изменив знак неравенства, \(n^2 — 15n + 36 < 0\). Находим корни уравнения \(n^2 — 15n + 36 = 0\): дискриминант \(D = 225 — 144 = 81\), корни \(n = \frac{15 \pm 9}{2}\), то есть \(n_1 = 3\), \(n_2 = 12\). Неравенство \(n^2 — 15n + 36 < 0\) выполняется между корнями, то есть при \(3 < n < 12\). Так как \(n\) — целое число, возможные значения \(n = 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\). Всего таких членов 8.

Ответ: 8.

705. Последовательность \((b_n)\) задана формулой \(b_n = -n^2 + 15n — 20\). Необходимо определить, сколько членов этой последовательности больше, чем 16.

Для решения задачи составим неравенство \(b_n > 16\), то есть \(-n^2 + 15n — 20 > 16\). Перенесем все члены в одну сторону, чтобы привести неравенство к стандартному виду: \(-n^2 + 15n — 20 — 16 > 0\), что дает \(-n^2 + 15n — 36 > 0\).

Чтобы упростить работу с неравенством, умножим обе части на \(-1\), не забывая при этом изменить знак неравенства: \(n^2 — 15n + 36 < 0\). Теперь нам нужно найти значения \(n\), при которых это квадратичное выражение меньше нуля.

Найдем корни уравнения \(n^2 — 15n + 36 = 0\). Для этого вычислим дискриминант по формуле \(D = b^2 — 4ac\), где \(a = 1\), \(b = -15\), \(c = 36\). Получаем \(D = (-15)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 36 = 225 — 144 = 81\).

Корни уравнения определяются по формуле \(n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Подставляем значения: \(n = \frac{15 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{15 \pm 9}{2}\). Таким образом, первый корень \(n_1 = \frac{15 + 9}{2} = \frac{24}{2} = 12\), а второй корень \(n_2 = \frac{15 — 9}{2} = \frac{6}{2} = 3\).

Квадратичное выражение \(n^2 — 15n + 36\) меньше нуля между корнями, так как коэффициент при \(n^2\) положительный, и парабола направлена вверх. Следовательно, неравенство \(n^2 — 15n + 36 < 0\) выполняется для \(3 < n < 12\).

Поскольку \(n\) является натуральным числом (индексом членов последовательности), рассматриваем целые значения \(n\), удовлетворяющие условию \(3 < n < 12\). Это значения \(n = 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\).

Подсчитаем количество таких значений: от 4 до 11 включительно получается 11 — 4 + 1 = 8 чисел.

Чтобы убедиться в правильности решения, можно проверить значения \(b_n\) для крайних точек. Для \(n = 4\): \(b_4 = -4^2 + 15 \cdot 4 — 20 = -16 + 60 — 20 = 24\), что больше 16. Для \(n = 11\): \(b_{11} = -11^2 + 15 \cdot 11 — 20 = -121 + 165 — 20 = 24\), тоже больше 16. Для \(n = 3\): \(b_3 = -3^2 + 15 \cdot 3 — 20 = -9 + 45 — 20 = 16\), что равно 16, а не больше. Для \(n = 12\): \(b_{12} = -12^2 + 15 \cdot 12 — 20 = -144 + 180 — 20 = 16\), тоже не больше 16. Это подтверждает, что границы определены верно.

Таким образом, членов последовательности, больших чем 16, всего 8.

Ответ: 8.