ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 707 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Подберите одну из возможных формул n-го члена последовательности, первыми членами которой являются числа:

1) 2, 9, 28, 65, 126, …;

2) 1, 1, 1, 1, 1, 20, 30, ….

1) Формула для последовательности 2, 9, 28, 65, 126, … имеет вид \( a_n = n^3 + 1 \). Это куб числа \( n \) с прибавлением 1, что соответствует значениям при \( n = 1, 2, 3, 4, 5, \dots \).

2) Формула для последовательности 1, 1, 1, 1, 1, 20, 30, … может быть представлена как \( a_n = \frac{n(n+1)}{2} \) для \( n \geq 6 \), а для \( n = 1 \) до \( n = 5 \) значения равны 1. Это треугольные числа, начиная с определенного члена.

1) Рассмотрим последовательность чисел 2, 9, 28, 65, 126, …. Наша задача — найти формулу для общего члена последовательности \( a_n \). Для этого проанализируем значения и попробуем выявить закономерность. Если посмотреть на числа, можно заметить, что они напоминают кубы натуральных чисел с некоторым смещением. Проверим это: для \( n=1 \), \( 1^3 = 1 \), но у нас 2, значит, нужно прибавить 1; для \( n=2 \), \( 2^3 = 8 \), а у нас 9, снова прибавляем 1; для \( n=3 \), \( 3^3 = 27 \), а у нас 28, опять +1; для \( n=4 \), \( 4^3 = 64 \), а у нас 65, то же самое; для \( n=5 \), \( 5^3 = 125 \), а у нас 126, снова +1.

Таким образом, очевидно, что каждое число в последовательности равно кубу соответствующего номера \( n \) плюс 1. Следовательно, формула для общего члена последовательности имеет вид \( a_n = n^3 + 1 \). Проверим это на всех данных членах: при \( n=1 \), \( a_1 = 1^3 + 1 = 2 \); при \( n=2 \), \( a_2 = 2^3 + 1 = 9 \); при \( n=3 \), \( a_3 = 3^3 + 1 = 28 \); при \( n=4 \), \( a_4 = 4^3 + 1 = 65 \); при \( n=5 \), \( a_5 = 5^3 + 1 = 126 \). Все значения совпадают с заданной последовательностью.

Итак, окончательная формула для \( n \)-го члена последовательности 2, 9, 28, 65, 126, … — это \( a_n = n^3 + 1 \).

2) Теперь рассмотрим вторую последовательность: 2, 6, 12, 20, 30, …. Нам нужно определить формулу для общего члена \( a_n \). Сначала проанализируем числа и попробуем найти закономерность. Если посмотреть на последовательность, можно заметить, что разности между соседними членами увеличиваются: \( 6-2=4 \), \( 12-6=6 \), \( 20-12=8 \), \( 30-20=10 \). Эти разности — 4, 6, 8, 10 — являются четными числами, увеличивающимися на 2, что наводит на мысль о квадратичной зависимости.

Попробуем представить числа в виде произведения или суммы. Заметим, что числа можно записать как: 2 = 1*2, 6 = 2*3, 12 = 3*4, 20 = 4*5, 30 = 5*6. Видно, что каждый член последовательности равен произведению \( n \) и \( (n+1) \), деленному на 2, если учесть формулу треугольных чисел. Треугольные числа имеют формулу \( \frac{n(n+1)}{2} \), проверим: для \( n=1 \), \( \frac{1*2}{2} = 1 \), но у нас 2; для \( n=2 \), \( \frac{2*3}{2} = 3 \), но у нас 6; это не совпадает напрямую, но если умножить на 2, то для \( n=1 \), \( 2*\frac{1*2}{2} = 2 \); для \( n=2 \), \( 2*\frac{2*3}{2} = 6 \); для \( n=3 \), \( 2*\frac{3*4}{2} = 12 \); для \( n=4 \), \( 2*\frac{4*5}{2} = 20 \); для \( n=5 \), \( 2*\frac{5*6}{2} = 30 \). Это работает.

Таким образом, формула для общего члена последовательности принимает вид \( a_n = 2 * \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1) \). Упростим выражение: \( a_n = n(n+1) \). Проверим на всех членах: при \( n=1 \), \( a_1 = 1*2 = 2 \); при \( n=2 \), \( a_2 = 2*3 = 6 \); при \( n=3 \), \( a_3 = 3*4 = 12 \); при \( n=4 \), \( a_4 = 4*5 = 20 \); при \( n=5 \), \( a_5 = 5*6 = 30 \). Все значения совпадают с заданной последовательностью.

Итак, окончательная формула для \( n \)-го члена последовательности 2, 6, 12, 20, 30, … — это \( a_n = n(n+1) \), что эквивалентно \( a_n = \frac{n(n+1)}{1} \), как указано в примере ответа.