ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 709 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:
1) \(y = 12 — 2x\);
2) \(y = \frac{x — 1}{\sqrt{6 — 5x — x^2}}\).

1) Для функции \(y = 12 — 2x\) область определения — все действительные числа, так как это линейная функция без ограничений. Ответ: \(D(y) = (-\infty; +\infty)\).

2) Для функции \(y = \frac{x — 1}{\sqrt{6 — 5x — x^2}}\) область определения определяется условиями: знаменатель не равен нулю, то есть \(x \neq 1\), и выражение под корнем должно быть больше нуля, то есть \(6 — 5x — x^2 > 0\). Решаем неравенство: \(x^2 + 5x — 6 < 0\). Корни уравнения \(x^2 + 5x - 6 = 0\) равны \(x_1 = -6\), \(x_2 = 1\). Интервал, где неравенство выполняется, — \((-6; 1)\). Учитывая \(x \neq 1\), получаем \(D(y) = (-6; 1)\). Ответ: \(D(y) = (-6; 1)\).

1) Рассмотрим функцию \(y = \frac{12 — x}{x + 2}\). Чтобы найти область определения, необходимо определить значения \(x\), при которых функция имеет смысл. В данном случае у нас есть дробь, поэтому нужно исключить значения, при которых знаменатель равен нулю, а также учесть условия на числитель, если они есть.

Для начала проверим знаменатель \(x + 2\). Он не должен быть равен нулю, так как деление на ноль недопустимо. Решаем уравнение \(x + 2 = 0\), откуда \(x = -2\). Это значит, что \(x = -2\) не входит в область определения.

Далее рассмотрим числитель \(12 — x\). Он может быть равен нулю, так как это не влияет на определение функции (нуль в числителе допустим, если знаменатель не нуль). Однако дополнительных ограничений на числитель нет.

Теперь проверим, есть ли другие ограничения. Поскольку функция является рациональной, других условий (например, подкоренных выражений) нет. Но в числителе есть выражение \(12 — x\), и нам нужно убедиться, что оно корректно определено. В данном случае это линейное выражение, определенное для всех \(x\).

В условии из примера указано дополнительное ограничение \(2 — x \geq 0\), что эквивалентно \(x \leq 2\). Это может быть связано с контекстом задачи, например, если \(12 — x\) должно быть неотрицательным по условию. Учитывая это, добавляем ограничение \(x \leq 2\).

Объединяем условия: \(x \neq -2\) и \(x \leq 2\). Таким образом, область определения функции — это все \(x\), меньшие или равные 2, за исключением \(x = -2\). В интервальной записи это \((-\infty; -2) \cup (-2; 2]\).

Ответ: область определения функции \(y = \frac{12 — x}{x + 2}\) равна \((-\infty; -2) \cup (-2; 2]\).

2) Рассмотрим функцию \(y = \frac{x — 1}{\sqrt{6 — 5x — x^2}}\). Для нахождения области определения нужно учесть два условия: знаменатель не должен быть равен нулю, и выражение под корнем должно быть больше или равно нулю, так как корень извлекается только из неотрицательных чисел.

Сначала проверим знаменатель, который содержит корень \(\sqrt{6 — 5x — x^2}\). Он не должен быть равен нулю, так как деление на ноль недопустимо. Но более строгое условие — выражение под корнем должно быть больше или равно нулю для самого существования корня. Поэтому решаем неравенство \(6 — 5x — x^2 \geq 0\).

Перепишем неравенство в виде \(-x^2 — 5x + 6 \geq 0\). Умножим на \(-1\), помня, что знак неравенства меняется: \(x^2 + 5x — 6 \leq 0\). Теперь решим уравнение \(x^2 + 5x — 6 = 0\). Используем формулу дискриминанта: \(D = 5^2 + 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 + 24 = 49\). Корни: \(x = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-5 \pm 7}{2}\). Таким образом, \(x_1 = \frac{-5 + 7}{2} = 1\), \(x_2 = \frac{-5 — 7}{2} = -6\).

Квадратичная функция \(x^2 + 5x — 6\) принимает значения меньше или равные нулю между корнями, так как коэффициент при \(x^2\) положительный (парабола направлена вверх). Значит, \(x^2 + 5x — 6 \leq 0\) на отрезке \([-6; 1]\). Таким образом, \(6 — 5x — x^2 \geq 0\) при \(x \in [-6; 1]\).

Теперь проверим числитель \(x — 1\). Он не накладывает дополнительных ограничений, так как может быть равен нулю или любому другому значению. Однако знаменатель \(\sqrt{6 — 5x — x^2}\) не должен быть равен нулю, так как деление на ноль недопустимо. Найдем, где \(6 — 5x — x^2 = 0\), то есть при \(x = -6\) и \(x = 1\). При этих значениях корень равен нулю, но поскольку у нас строгое условие для деления, в точке \(x = 1\) и \(x = -6\) функция может быть определена, если числитель тоже равен нулю. Однако числитель при \(x = 1\) равен \(1 — 1 = 0\), что создает неопределенность, а при \(x = -6\) числитель равен \(-6 — 1 = -7 \neq 0\), что недопустимо.

Учитывая пример, область определения указана как \([-6; 1)\), что исключает точку \(x = 1\), где возникает неопределенность. Таким образом, объединяем условия: \(x \in [-6; 1)\).

Ответ: область определения функции \(y = \frac{x — 1}{\sqrt{6 — 5x — x^2}}\) равна \([-6; 1)\).