ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 711 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Рабочий планировал за некоторое время изготовить 160 деталей. Однако он закончил работу на 3 ч раньше, чем планировал, так как изготавливал на 12 деталей в час больше запланированного. Сколько деталей в час изготавливал рабочий?

Пусть \(x\) — количество деталей в час по плану, \(y\) — запланированное время в часах. Тогда первое уравнение: \(x \cdot y = 160\), откуда \(y = \frac{160}{x}\). Второе уравнение, учитывая, что время уменьшилось на 3 часа, а скорость увеличилась на 12 деталей в час: \((x + 12) \cdot (y — 3) = 160\). Подставим \(y\): \((x + 12) \cdot \left(\frac{160}{x} — 3\right) = 160\). Умножим на \(x\): \((x + 12) \cdot (160 — 3x) = 160x\). Раскроем скобки: \(160x — 3x^2 + 1920 — 36x = 160x\), упростим: \(-3x^2 — 36x + 1920 = 0\), или \(x^2 + 12x — 640 = 0\). Дискриминант: \(D = 144 + 2560 = 2704\), корни: \(x = \frac{-12 \pm \sqrt{2704}}{2} = \frac{-12 \pm 52}{2}\). Получаем \(x_1 = 20\), \(x_2 = -32\). Так как \(x\) должно быть положительным, \(x = 20\). Тогда фактическая скорость: \(x + 12 = 32\) детали в час.

Ответ: 32 детали в час.

1. Для решения задачи введем переменные: пусть \(x\) — это количество деталей, которое рабочий планировал изготавливать в час по первоначальному плану, а \(y\) — запланированное время в часах для изготовления 160 деталей. Таким образом, общее количество деталей по плану можно выразить как \(x \cdot y = 160\). Из этого уравнения можно выразить \(y\) через \(x\): \(y = \frac{160}{x}\).

2. Теперь учтем условия задачи: рабочий закончил работу на 3 часа раньше, чем планировал, то есть фактическое время составило \((y — 3)\) часов. Также он изготавливал на 12 деталей в час больше, чем планировал, то есть фактическая скорость стала равной \((x + 12)\) деталей в час. Общее количество изготовленных деталей осталось неизменным и равно 160, поэтому составим второе уравнение: \((x + 12) \cdot (y — 3) = 160\).

3. Подставим выражение для \(y\) из первого уравнения во второе: \((x + 12) \cdot \left(\frac{160}{x} — 3\right) = 160\). Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на \(x\): \((x + 12) \cdot (160 — 3x) = 160x\). Раскроем скобки в левой части: \(x \cdot 160 + x \cdot (-3x) + 12 \cdot 160 + 12 \cdot (-3x) = 160x — 3x^2 + 1920 — 36x\).

4. Приведем уравнение к стандартному виду, перенеся все члены в одну сторону: \(160x — 3x^2 + 1920 — 36x — 160x = 0\). Упростим, объединяя подобные слагаемые: \(-3x^2 — 36x + 1920 = 0\). Умножим уравнение на \(-1\), чтобы коэффициент при \(x^2\) был положительным: \(3x^2 + 36x — 1920 = 0\). Для упрощения разделим все члены на 3: \(x^2 + 12x — 640 = 0\).

5. Решаем полученное квадратное уравнение \(x^2 + 12x — 640 = 0\). Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 — 4ac\), где \(a = 1\), \(b = 12\), \(c = -640\). Подставим значения: \(D = 12^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-640) = 144 + 2560 = 2704\).

6. Теперь вычислим корни уравнения по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Подставим значения: \(x = \frac{-12 \pm \sqrt{2704}}{2 \cdot 1}\). Так как \(\sqrt{2704} = 52\), то \(x = \frac{-12 \pm 52}{2}\). Рассчитаем два возможных значения: первое \(x_1 = \frac{-12 + 52}{2} = \frac{40}{2} = 20\), второе \(x_2 = \frac{-12 — 52}{2} = \frac{-64}{2} = -32\).

7. Поскольку \(x\) представляет собой количество деталей в час, оно не может быть отрицательным. Поэтому отбрасываем значение \(x_2 = -32\) и принимаем \(x_1 = 20\). Это означает, что по плану рабочий изготавливал 20 деталей в час.

8. Однако в задаче спрашивается, сколько деталей в час изготавливал рабочий фактически. Учитывая, что он работал быстрее на 12 деталей в час, чем планировал, фактическая скорость равна \(x + 12 = 20 + 12 = 32\) детали в час.

9. Проверим решение. Если по плану \(x = 20\), то запланированное время \(y = \frac{160}{20} = 8\) часов. Фактическая скорость \(32\) детали в час, а время уменьшилось на 3 часа, то есть стало \(8 — 3 = 5\) часов. Тогда общее количество деталей: \(32 \cdot 5 = 160\), что совпадает с условием задачи. Значит, решение верно.

10. Ответ: рабочий изготавливал 32 детали в час.