ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 712 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Рассматриваются квадратичные функции \(y = x^2 + px + q\), для которых \(p + q = 5\). Докажите, что параболы, являющиеся графиками этих функций, пересекаются в одной точке.

Для квадратичных функций \(y = x^2 + px + q\) с условием \(p + q = 5\) выразим \(q = 5 — p\). Тогда функция принимает вид \(y = x^2 + px + (5 — p)\). Чтобы найти общую точку пересечения парабол, приравняем две функции с разными значениями \(p_1\) и \(p_2\): \(x^2 + p_1 x + (5 — p_1) = x^2 + p_2 x + (5 — p_2)\). Упростим: \(p_1 x — p_2 x + (5 — p_1) — (5 — p_2) = 0\), что дает \((p_1 — p_2)x + (p_2 — p_1) = 0\), или \((p_1 — p_2)(x — 1) = 0\). Поскольку \(p_1 \neq p_2\), то \(x = 1\). Подставим \(x = 1\) в любую функцию: \(y = 1^2 + p \cdot 1 + (5 — p) = 1 + p + 5 — p = 6\). Таким образом, все параболы пересекаются в точке \((1, 6)\).

712. Рассматриваются квадратичные функции вида \(y = x^2 + p x + q\), для которых выполняется условие \(p + q = 5\). Необходимо доказать, что параболы, являющиеся графиками таких функций, пересекаются в одной и той же точке.

Для начала выразим один из параметров через другой, используя заданное условие. Поскольку \(p + q = 5\), то \(q = 5 — p\). Подставим это выражение в уравнение функции: \(y = x^2 + p x + (5 — p)\). Таким образом, каждая функция из рассматриваемого семейства определяется только значением параметра \(p\), так как \(q\) однозначно выражается через \(p\).

Теперь наша цель — показать, что графики любых двух таких функций пересекаются в одной точке. Для этого возьмем две функции с разными значениями параметра \(p\), например, \(p_1\) и \(p_2\), где \(p_1 \neq p_2\). Тогда соответствующие функции будут иметь вид: первая — \(y_1 = x^2 + p_1 x + (5 — p_1)\), а вторая — \(y_2 = x^2 + p_2 x + (5 — p_2)\).

Чтобы найти точки пересечения этих двух парабол, приравняем их уравнения: \(x^2 + p_1 x + (5 — p_1) = x^2 + p_2 x + (5 — p_2)\). Вычтем \(x^2\) из обеих частей уравнения, чтобы упростить: \(p_1 x + (5 — p_1) = p_2 x + (5 — p_2)\). Перенесем все члены в одну сторону: \(p_1 x + 5 — p_1 — p_2 x — 5 + p_2 = 0\). Упростим это выражение: \(p_1 x — p_2 x + 5 — p_1 — 5 + p_2 = 0\), что дает \((p_1 — p_2) x + (p_2 — p_1) = 0\).

Заметим, что \(p_2 — p_1 = -(p_1 — p_2)\), поэтому уравнение можно переписать как \((p_1 — p_2) x — (p_1 — p_2) = 0\), или \((p_1 — p_2)(x — 1) = 0\). Поскольку \(p_1 \neq p_2\), то \(p_1 — p_2 \neq 0\), следовательно, \(x — 1 = 0\), то есть \(x = 1\). Это означает, что абсцисса точки пересечения двух парабол всегда равна 1, независимо от значений \(p_1\) и \(p_2\).

Теперь найдем ординату точки пересечения. Подставим \(x = 1\) в любую из функций, например, в общий вид \(y = x^2 + p x + (5 — p)\). Получим: \(y = 1^2 + p \cdot 1 + (5 — p) = 1 + p + 5 — p = 6\). Таким образом, ордината точки пересечения всегда равна 6.

Итак, мы показали, что любые две параболы из данного семейства пересекаются в точке с координатами \((1, 6)\). Поскольку выбор двух функций был произвольным, это означает, что все параболы данного семейства проходят через одну и ту же точку \((1, 6)\).

Дополнительно можно отметить, что если подставить \(x = 1\) в исходное уравнение функции \(y = x^2 + p x + q\), где \(q = 5 — p\), то всегда получается \(y = 1 + p + (5 — p) = 6\), что подтверждает наше решение.

Таким образом, доказано, что все параболы, являющиеся графиками функций \(y = x^2 + p x + q\) с условием \(p + q = 5\), пересекаются в одной точке \((1, 6)\). Что и требовалось доказать.