ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 731 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Как изменится разность конечной арифметической прогрессии, если переставить её члены в обратном порядке?

Если переставить члены арифметической прогрессии в обратном порядке, разность прогрессии изменит знак. Объяснение: в исходной прогрессии разность определяется как \(d = a_{n+1} — a_n\), а в обратном порядке она становится \(d_r = a_n — a_{n+1} = -d\). Таким образом, разность меняет знак на противоположный.

731. Рассмотрим арифметическую прогрессию, в которой каждый последующий член отличается от предыдущего на постоянную разность \(d\). Наша задача — определить, как изменится эта разность, если переставить члены прогрессии в обратном порядке.

В исходной арифметической прогрессии разность между соседними членами определяется как \(d = a_{n+1} — a_n\). Это значит, что каждый следующий член прогрессии больше (или меньше, если \(d\) отрицательное) предыдущего на величину \(d\). Например, если у нас есть последовательность \(a_1, a_2, a_3, \dots, a_n\), то \(a_2 = a_1 + d\), \(a_3 = a_2 + d\) и так далее.

Теперь представим, что мы переставляем члены этой прогрессии в обратном порядке. Новая последовательность будет выглядеть как \(a_n, a_{n-1}, a_{n-2}, \dots, a_1\). В этом случае нам нужно вычислить разность между соседними членами новой последовательности. Возьмем, например, первые два члена обратной последовательности: \(a_n\) и \(a_{n-1}\). Разность между ними будет равна \(d_r = a_{n-1} — a_n\).

Поскольку в исходной прогрессии \(a_{n-1} = a_n — d\), подставим это выражение в формулу для \(d_r\): \(d_r = (a_n — d) — a_n = -d\). Таким образом, разность в обратной последовательности равна \(-d\), то есть она изменила знак по сравнению с исходной разностью \(d\).

Этот результат можно обобщить для любых двух соседних членов обратной последовательности. Если взять члены \(a_{k+1}\) и \(a_k\) в исходной прогрессии, то в обратной последовательности они станут \(a_k\) и \(a_{k-1}\), и разность между ними будет \(a_{k-1} — a_k = -(a_k — a_{k-1}) = -d\). Это подтверждает, что разность в обратной последовательности всегда равна \(-d\).

Таким образом, если переставить члены арифметической прогрессии в обратном порядке, разность прогрессии изменит свой знак. Если исходная разность была положительной, она станет отрицательной, и наоборот. Это связано с тем, что направление изменения членов прогрессии меняется на противоположное.

Проиллюстрируем это на простом примере. Пусть у нас есть прогрессия \(2, 4, 6, 8\) с разностью \(d = 2\). В обратном порядке последовательность станет \(8, 6, 4, 2\), и разность между соседними членами будет \(6 — 8 = -2\), \(4 — 6 = -2\), \(2 — 4 = -2\), то есть \(d_r = -2 = -d\).

Если же разность изначально отрицательная, например, прогрессия \(10, 7, 4, 1\) с \(d = -3\), то в обратном порядке последовательность будет \(1, 4, 7, 10\), и разность станет \(4 — 1 = 3\), \(7 — 4 = 3\), \(10 — 7 = 3\), то есть \(d_r = 3 = -(-3)\), что опять подтверждает изменение знака.

Из всего вышесказанного следует, что перестановка членов арифметической прогрессии в обратном порядке приводит к изменению знака разности. Это свойство вытекает из самой природы арифметической прогрессии, где разность между членами остается постоянной по модулю, но меняет направление при изменении порядка следования членов.

Ответ: разность изменит знак.