ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 740 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что значения выражений \((a + b)^2\), \(a^2 + b^2\), \((a — b)^2\) являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Для доказательства того, что выражения \((a + b)^2\), \(a^2 + b^2\), \((a — b)^2\) образуют арифметическую прогрессию, нужно показать, что разность между вторым и первым членом равна разности между третьим и вторым членом.

Вычислим разности:
— Вторая разность: \(a^2 + b^2 — (a + b)^2 = a^2 + b^2 — (a^2 + 2ab + b^2) = -2ab\),
— Третья разность: \((a — b)^2 — (a^2 + b^2) = (a^2 — 2ab + b^2) — a^2 — b^2 = -2ab\).

Так как обе разности равны \(-2ab\), то последовательность является арифметической прогрессией. Что и требовалось доказать.

1. Рассмотрим заданную последовательность выражений: \((a + b)^2\), \(a^2 + b^2\), \((a — b)^2\). Нам нужно доказать, что эти выражения являются последовательными членами арифметической прогрессии. Для этого необходимо показать, что разность между вторым и первым членом равна разности между третьим и вторым членом, то есть выполняется свойство арифметической прогрессии.

2. В арифметической прогрессии разность между соседними членами постоянна. Это означает, что для трех членов последовательности \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\) должно выполняться условие: \(a_2 — a_1 = a_3 — a_2\), или, что эквивалентно, \(2a_2 = a_1 + a_3\). Мы будем использовать это свойство для проверки нашей последовательности.

3. Обозначим члены последовательности для удобства: пусть \(a_1 = (a + b)^2\), \(a_2 = a^2 + b^2\), \(a_3 = (a — b)^2\). Теперь вычислим выражение \(2a_2\) и сравним его с суммой \(a_1 + a_3\), чтобы проверить выполнение условия арифметической прогрессии.

4. Сначала вычислим \(2a_2\): \(2a_2 = 2(a^2 + b^2) = 2a^2 + 2b^2\). Это левая часть нашего уравнения, которое мы будем проверять.

5. Теперь вычислим сумму \(a_1 + a_3\): \(a_1 + a_3 = (a + b)^2 + (a — b)^2\). Раскроем скобки в каждом из слагаемых. Для первого члена: \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Для второго члена: \((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\). Сложим их: \((a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 — 2ab + b^2) = a^2 + 2ab + b^2 + a^2 — 2ab + b^2 = =\)
\(2a^2 + 2b^2\).

6. Сравним результаты: \(2a_2 = 2a^2 + 2b^2\), а \(a_1 + a_3 = 2a^2 + 2b^2\). Видно, что \(2a_2 = a_1 + a_3\), что и является свойством арифметической прогрессии.

7. Таким образом, мы доказали, что выражения \((a + b)^2\), \(a^2 + b^2\), \((a — b)^2\) образуют арифметическую прогрессию, так как выполняется основное условие для трех членов последовательности.

8. Для полноты можно также вычислить разность между членами. Разность между вторым и первым членом: \(a_2 — a_1 = (a^2 + b^2) — (a + b)^2 = a^2 + b^2 — (a^2 + 2ab + b^2) =\)
\(= a^2 + b^2 — a^2 — 2ab — b^2 = -2ab\).

9. Разность между третьим и вторым членом: \(a_3 — a_2 = (a — b)^2 — (a^2 + b^2) = (a^2 — 2ab + b^2) — a^2 — b^2=\)
\( = a^2 — 2ab + b^2 — a^2 — b^2 = -2ab\).

10. Разности равны: \(a_2 — a_1 = -2ab\) и \(a_3 — a_2 = -2ab\), что подтверждает, что последовательность является арифметической прогрессией. Что и требовалось доказать.