ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 741 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Верно ли утверждение: если длины сторон выпуклого четырёхугольника (рис. 105), взятые в последовательности \(a\), \(b\), \(c\) и \(d\), образуют арифметическую прогрессию, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность?

Если длины сторон выпуклого четырёхугольника \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) образуют арифметическую прогрессию, то \(b — a = c — b = d — c = d\) (общий разност). Для вписанной окружности должно выполняться условие \(a + c = b + d\). Подставим: \(a + c = a + (a + 2d) = 2a + 2d\), а \(b + d = (a + d) + (a + 3d) = 2a + 4d\). Получаем \(2a + 2d = 2a + 4d\), что упрощается до \(2d = 4d\), или \(2d = 0\), откуда \(d = 0\). Это означает, что все стороны равны (\(a = b = c = d\)), то есть четырёхугольник — ромб. Следовательно, утверждение неверно: окружность можно вписать только в ромб, а не в любой четырёхугольник с такими сторонами.

741. Рассмотрим задачу о выпуклом четырёхугольнике, стороны которого \(a\), \(b\), \(c\) и \(d\) образуют арифметическую прогрессию. Необходимо определить, можно ли в такой четырёхугольник вписать окружность, то есть является ли он окружным четырёхугольником.

Для начала вспомним, что для вписывания окружности в четырёхугольник должно выполняться условие равенства сумм противоположных сторон. Иными словами, должно быть истинно равенство \(a + c = b + d\). Это условие является необходимым и достаточным для существования вписанной окружности.

Теперь обратимся к условию задачи: стороны \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) образуют арифметическую прогрессию. Это означает, что разность между последовательными сторонами постоянна. Выразим стороны через первый член прогрессии \(a\) и разность \(d\). Тогда \(b = a + d\), \(c = a + 2d\), а \(d = a + 3d\). Здесь \(d\) в выражении для последней стороны является разностью прогрессии, а не стороной, поэтому для ясности обозначим разность прогрессии как \(r\). Таким образом, \(b = a + r\), \(c = a + 2r\), а последняя сторона, которую в задаче обозначили как \(d\), будет \(d = a + 3r\).

Подставим эти выражения в условие для вписанной окружности \(a + c = b + d\). Слева получаем \(a + (a + 2r) = 2a + 2r\), а справа \(b + d = (a + r) + (a + 3r) = 2a + 4r\). Таким образом, условие принимает вид \(2a + 2r = 2a + 4r\).

Упростим это уравнение, вычтя \(2a\) из обеих частей: \(2r = 4r\). Затем вычтем \(2r\) из обеих частей: \(0 = 2r\). Это означает, что \(r = 0\). Если разность прогрессии \(r = 0\), то все стороны равны: \(a = b = c = d\).

Проанализируем полученный результат. Если \(r = 0\), то четырёхугольник имеет все стороны равными, что соответствует ромбу (или квадрату, если углы также прямые). В ромб всегда можно вписать окружность, так как суммы противоположных сторон равны (все стороны одинаковы). Однако если \(r \neq 0\), то условие \(a + c = b + d\) не выполняется, и окружность вписать невозможно.

Рассмотрим пример для проверки. Предположим, \(a = 1\), \(r = 1\), тогда \(b = 2\), \(c = 3\), \(d = 4\). Проверим суммы: \(a + c = 1 + 3 = 4\), а \(b + d = 2 + 4 = 6\). Равенство не выполняется, значит, окружность вписать нельзя. Если же \(a = 5\), \(r = 0\), то \(b = 5\), \(c = 5\), \(d = 5\), и \(a + c = 10\), \(b + d = 10\), равенство выполнено, окружность можно вписать.

Таким образом, условие вписывания окружности выполняется только в частном случае, когда разность прогрессии равна нулю, то есть все стороны равны. Следовательно, утверждение, что в любой четырёхугольник с сторонами в арифметической прогрессии можно вписать окружность, неверно. Это возможно только для ромба.

Ответ: только в ромб.